Rechnen mit komplexen Zahlen

06.01.2011, 22:26

schweizerkäse

Rechnen mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} z_{1}:=-2-2i, z_{2}:=1+2i \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} z_{1},z_{2},z_{3} \end{eqnarray*}$ die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.

Meine Ideen:
Wenn das Dreieck gleichseitig sein soll, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} | z_{1} - z_{2} | =| z_{1} - z_{3}| = | z_{2} - z_{3} | \end{eqnarray*}$

Also eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} | -3 -4i | = | -2-2i-z_{3} | = | 1+2i-z_{3} | \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich jetzt weitermachen oder ist der Ansatz schon falsch?

06.01.2011, 22:40

Lampe16

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RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
In einem gleichseitigen Dreieck sind die Winkel gleich 60 °. Am einfachsten kommst Du durch Drehung mit der e-Funktion weiter.

07.01.2011, 00:52

corvus

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RE: Rechnen mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von schweizerkäse
Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} z_{1}:=-2-2i, z_{2}:=1+2i \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} z_{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ,
so dass $\begin{eqnarray*} z_{1},z_{2},z_{3} \end{eqnarray*}$ die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden.

$\begin{eqnarray*} | -3 -4i | = | -2-2i-z_{3} | = | 1+2i-z_{3} | \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich jetzt weitermachen oder ist der Ansatz schon falsch?

zu deiner Frage: der Ansatz ist nicht schon falsch smile

weitermachen könntest du auf diesem Weg, wenn du für z3=x+iy ansetzt
und dann die Lösungen des folgenden Systems ermittelst:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x+2)^2 + (y+2)^2 = 25<br /> (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25<br /> \end{eqnarray*}$

Tipp:
probiere aber trotzdem auch noch den 60°-Dreh ..
wenn du es geschickt machst, wirst du damit
dann wohl weniger Rechenaufwand haben.

08.01.2011, 15:33

El Rey

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kommt da was vernünftiges raus ??
bei mir kommen da immer endlosbruchzahlen raus

08.01.2011, 15:53

Lampe16

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Ich schreibe dir die beiden Möglichkeiten auf. Dazu benutze ich Scilab-Code. Den kannst du lesen, auch wenn du die Freeware Scilab nicht kennst. Ihre Nutzung ist sehr zu empfehlen - aus vielen Gründen, nicht nur, weil die Software ohne besondere Aufforderung komplex rechnet.

z1=-2-2*%i
z2=1+2*%i
a=z2-z1
b1=a*exp(%i*%pi/3)
b2=a*exp(-%i*%pi/3)
z31=z1+b1
z32=z1+b2

Die Lösungspunkte sind

z31 = - 3.9641016 + 2.5980762i
z32 = 2.9641016 - 2.5980762i .

08.01.2011, 16:29

El Rey

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solche kaputten zahlen kommen da raus ??
biste sicher weil unsere ausfgaben sollen eig ohne taschenrechner zu machen sein smile

08.01.2011, 16:39

Lampe16

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Zeichne es dir auf, dann siehst du, ob es stimmt. Melde dich bitte in beiden Fällen.

08.01.2011, 16:41

El Rey

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ja ich hab das gleichungssystem gelöst und ich komme auf solche werte aber ich dachte immer das is falsch

08.01.2011, 17:53

Lampe16

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Is' doch schön, wenn auf zwei Wegen dasselbe 'rauskommt!

08.01.2011, 20:52

corvus

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Zitat:

Original von El Rey

solche kaputten zahlen kommen da raus ??

.. wann ist denn eine Zahl kaputt ? smile

du kannst doch ganz einfach gleich die geuauen Werte verwenden:

zB für z31:

multipliziere z=3+4i mit w=cos(60°) +i*sin(60°)
(das ist die +60°-Drehung)
und verschiebe dann das Ergebnis wieder um z1=-2-2i
dann hast du dein z31 genau:
z31= z*w+z1= [3cos(60°) - 4sin(60°) - 2 ] + i*[4cos(60°) + 3sin(60°) - 2 ]

so - nun könntest du noch überlegen,
wie du schnell zum genauen z32 kommen kannst..

.......................................... smile

08.01.2011, 21:11

El Rey

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das is ne gute schreibweise aber ich versteh die vorgehensweise nich ganz

kannst du mir den ansatz etwas kleinschrittiger aufschreiben ??

08.01.2011, 21:49

El Rey

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ich hab für z32

z32 = 3cos 60° - 4sin 60° + 2 + i(4cos 60° + 3sin 60° + 2)

selbst wenn das richtig is würd ich gerne den ansatz nachvollziehen
brauche also nochmal deine hilfe Augenzwinkern

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