hyperbelfunktion und umkehrfunktion

07.01.2011, 00:24

alex2007

hyperbelfunktion und umkehrfunktion

Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} sinh: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und bijektiv ist, und dass die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} Ar sinh: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} Ar sinh(x) = ln (x + \sqrt {x^2+1}) \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

Bemerkung: hier ist noch die umkehrfunktion des cosh gegeben.

Meine Ideen:

Monotonie

$\begin{eqnarray*} sinh(x)= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinh(x+1)= \frac{1}{2}(e^{x+1}-e^{-x+1}) \end{eqnarray*}$

da streng monoton wachsend muss $\begin{eqnarray*} sinh(x)< sinh(x+1) \end{eqnarray*}$ gelten.

heißt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})<\frac{1}{2}(e^{x+1}-e^{-x+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x-e^{-x})<(e^{x+1}-e^{-x+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x} -\frac{1}{e^{x} } < e^{x+1} -\frac{e}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} -1 < e^{2x+1} -e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} -1 < e (e^{2x} -1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 < e \end{eqnarray*}$ wahre Aussage $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend

Bijektivität

Injektivität:

$\begin{eqnarray*} sinh(x)= \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})= \frac{1}{2}(e^y-e^{-y})= sinh(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

q.e.d

Surjektivität:

Da Monotonie bewiesen reicht es die Grenzwerte für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } sinh(x)= \lim_{x \to -\infty } \left(\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})\right ) = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } sinh(x)= \lim_{x \to \infty } \left(\frac{1}{2} (e^x-e^{-x})\right ) = \infty \end{eqnarray*}$

Da die Funktion von -unendlich bis plus unendlich verläuft und streng monoton wachsen ist, nimmt sie alle werte in R an und ist somit surjektiv.

Berechnung der Umkehrfunktion:
Hier brauche ich Hilfe. Wie löse ich hier $\begin{eqnarray*} y= \frac {1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ nach x auf??? oder soll ich hier die bemerkung verwenden, dass die umkehrfunktion vom cosh(x) $\begin{eqnarray*} Ar cosh(x)=ln(x+ \sqrt{x^2-1}) \end{eqnarray*}$ lautet und aus der Definition von cosh und sinh, dann die Umkehrfunktion also den Ar sinh schließen?

07.01.2011, 00:38

mYthos

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RE: hyperbelfunktion und umkerhfunktion

Zitat:

Original von alex2007
...
Wie löse ich hier $\begin{eqnarray*} y= \frac {1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ nach x auf???
...

Substituiere $\begin{eqnarray*} e^x = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2y = z - \frac 1 z \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung löse nach z und dann mittels Logarithmierens nach x.

Bemerkung: Für z und dann auch für x erhält man zwei gültige Lösungen. Dennoch gibt es nur eine Umkehrfunktion. Weshalb?

mY+

07.01.2011, 00:53

alex2007

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RE: hyperbelfunktion und umkerhfunktion

Zitat:

Original von mYthos
[quote]Original von alex2007
...

$\begin{eqnarray*} 2y = z - \frac 1 z \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung löse nach z und dann mittels Logarithmierens nach x.

Bemerkung: Für z und dann auch für x erhält man zwei gültige Lösungen. Dennoch gibt es nur eine Umkehrfunktion. Weshalb?

mY+

also dass mit dem logarithmieren am ende ist mir alles klar, allerdings stehe ich irgendwie immernoch auf dem schlauch, was hier das auflösen nach z angeht. du schreibst "quadratische gleichung", aber ich sehe da ganz und gar nichts quadratisches. man hat z^1 und z^(1) das ist zwar genauso 2 potenzen auseinander, wie x^2 und x^0 bei der allgemeinen quadratischen gleichung ax^2+bx^1+cx^0, aber ich kann hier ja wohlm kaum die lösungsformel anwenden. verwirrt

07.01.2011, 02:39

mYthos

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Multipliziere mit z, bringe alles auf eine Seite, auf der anderen steht Null.
Wenn das dann keine quadratische Gleichung ist ...

mY+

07.01.2011, 14:10

alex2007

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$\begin{eqnarray*} 0=z^2-2yz-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z_{1/2}=y\pm \sqrt{y^2+1} \end{eqnarray*}$

Resubstitution und Variablentausch liefert:

$\begin{eqnarray*} e^y_{1/2}=x\pm \sqrt {x^2+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{1/2}=ln\left(x\pm \sqrt {x^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x- \sqrt {x^2+1}<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ nur für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ definiert ist, entfällt diese Lösung.

Somit lautet die Umkehrfunktion:

$\begin{eqnarray*} y= Ar sinh(x)= ln\left(x+ \sqrt {x^2+1}\right) \end{eqnarray*}$

So korrekt? Was ist mit den anderen Teilaufgaben? kann man die so stehen lassen?

07.01.2011, 19:30

alex2007

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Es wäre nett, wenn jemand n Feedback bezüglich der mathematischen Korrektheit geben könnte

07.01.2011, 22:49

mYthos

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Ja, es ist korrekt so smile

mY+

08.01.2011, 10:15

Leopold

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RE: hyperbelfunktion und umkehrfunktion

Zitat:

Original von alex2007
da streng monoton wachsend muss $\begin{eqnarray*} sinh(x)< sinh(x+1) \end{eqnarray*}$ gelten.

heißt also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})<\frac{1}{2}(e^{x+1}-e^{-x+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x-e^{-x})<(e^{x+1}-e^{-x+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x} -\frac{1}{e^{x} } < e^{x+1} -\frac{e}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} -1 < e^{2x+1} -e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} -1 < e (e^{2x} -1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 < e \end{eqnarray*}$ wahre Aussage $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend

In deinem Monotoniebeweis sind gleich mehrere Fehler. Zunächst, wie man es richtig macht: Betrachte die Ableitung und zeige, daß sie stets größer als 0 ist. Dann ist die Funktion selbst streng monoton wachsend, also auch umkehrbar.

Jetzt zu deinem Beweisversuch.

1. Es genügt nicht, die Werte für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ miteinander zu vergleichen. Wir haben hier keine Zahlenfolge vor uns, sondern eine reelle Funktion, die auf einer Menge beliebig dicht liegender Zahlen (nämlich allen reellen Zahlen) definiert ist.

2. Und wenn man deinen falschen Ansatz weiter verfolgt, wird es richtig falsch. Schon die Behauptung ist falsch. Wenn man nämlich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ substituiert, erhält man im zweiten Summanden den Exponenten $\begin{eqnarray*} -x-1 \end{eqnarray*}$ .

3. Schlimmer ist, daß du jetzt die Behauptung umzuformen beginnst. Beweise, die durch Umformen der Behauptung entstehen, sind der Logik wegen grundsätzlich ungültig. Eine solche Beweisführung läßt sich nur retten, wenn man sich an jeder Stelle davon überzeugt, daß auch die umgekehrte Schlußrichtung stimmt. (Das muß man dann aber auch wirklich tun und nicht nur vorgeben, es zu tun, indem man etwa gedankenlos Äquivalenzpfeile setzt.)

4. Die letzte Zeile deines Beweises stellt keinesfalls eine wahre Aussage dar. Sie ist für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ offensichtlich falsch.

Somit hast du einen falschen Beweisansatz falsch angesetzt, logisch falsch ausgeführt und zuletzt auch noch das vermeintliche Ergebnis falsch angesehen.

Auch dein Injektivitätsbeweis ist kein wirklicher Beweis, sondern gibt nur die Definition der Injektivität wieder. Aber er ist wegen der strengen Monotonie ja sowieso überflüssig.

Ich weiß, das ist ein ziemlicher Verriß. Er ist aber, glaube mir, nicht böse gemeint. Er soll dir einfach helfen, all diesen Dingen künftig mehr Aufmerksamkeit zu schenken.

Nichts für ungut. Augenzwinkern

09.01.2011, 15:02

alex2007

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RE: hyperbelfunktion und umkehrfunktion
@ Leopold: Danke für deine Antwort

Ich verstehe das keinesfalls als destruktiv, sondern also konstruktive Kritik in Form einer Hilfestellung, damit derartig "dämliche" und grobe Fehler nicht mher passieren.

Nun aber zur Aufgabe, ich weis auch nicht, was da in meinem Kopf voging einfach als nachfolger x+1 einzusetzen. Ist bei ner reellen Funktion narülich Schwachsinn.

Was ist nun aber, wenn wir das Differential einer Funktion und somit auch die 1. Ableitung noch nicht definiert haben? Demzufolge müsste ich ja den Beweis anders angehen.

es muss dann ja gelten: für alle a<b ==>f(a)<f(b)

wie zeige ich denn das?

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