eigentliche und uneigentliche Grenzwerte

07.01.2011, 01:47

alex2007

eigentliche und uneigentliche Grenzwerte

Zeigen sie, das folgende Grenzwerte (eigentliche oder uneigentliche) existieren und berechnen Sie diese:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}\right) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac {x^2+1}{x} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {sin\, x}{x} \end{eqnarray*}$

Bemerkung: verwenden sie die Reihendarstellung von sin x

Meine Ideen:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x^3+3x^2}{7x^3-5x-1}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac {x^3}{x^3}\cdot\frac{2+ \frac{3}{x}}{7-\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}\right)=\frac {2}{7} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac {x^2+1}{x}= \lim_{x \to 0} (x^2+1) \cdot\lim_{x \downarrow 0}\left(\frac {1}{x}\right) = \infty \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1 )!}= \frac {x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\pm ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\frac {sin x}{x}= 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-...\pm ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac {sin\, x}{x}= 1-0+0-...\pm...=1 \end{eqnarray*}$

Sind diese Berechnungen nun erstmal so formal korrekt? Wie zeige ich denn dass die Grenzwerte existieren? Oder habe ich mit meiner Brechnung bereits gezeigt das sie existieren?

Bin nur verwirrt wegen der Aufgabenstellung, da ja extra da steht "Zeigen sie, dass die Grenzwerte existieren UND berechnen sie diese".

07.01.2011, 03:55

pseudo-nym

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a) und b) stimmen.
Wenn du dir die Grenzwertsätze, die du in den Umformungen benutzt hast, ansiehst, wirst du sehen, dass diese Sätze auch etwas über die Existenz der Grenzwerte aussagen.

c) Du hast hier Limes und Reihenbildung vertauscht. Damit du das tun darfst musst und erst prüfen ob die betroffene Reihe (hier
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n!} \end{eqnarray*}$ )
gleichmäßig konvergiert.

07.01.2011, 05:27

alex2007

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Zitat:

Original von pseudo-nym
.....
c) Du hast hier Limes und Reihenbildung vertauscht. Damit du das tun darfst musst und erst prüfen ob die betroffene Reihe (hier
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n!} \end{eqnarray*}$ )
gleichmäßig konvergiert.

kleiner Fehler beim aufschreiben von dir, es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=\frac {1}{x}\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Wie zeige ich denn nun, dass sie gleichmäßig konvergiert? Und wieso ist das was ich getan habe nicht richtig? Ich habe lediglich die Reihe aufgelöst, die den Sinus repräsentiert, sie durch x geteilt und davon den Limes gebildet. Warum ist das nun genau nicht korrekt?

Danke!

07.01.2011, 06:01

pseudo-nym

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Das war das falsche n+1, was ich meinte war:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Was du gemacht hast ist äquivalent zu folgendem:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}= \lim_{x \to 0} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \stackrel{!}{=} \sum\limits_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 \end{eqnarray*}$

Und den vorletzen Schritt darf man eben im Allgemeinen nicht machen.

Desweiteren glaube ich, dass die Idee mit dem Konvergenzradius sehr haarig werden könnte. Am besten ist es wohl du bemühst die Suche, denn die Aufgabe gehört zum Standard.

07.01.2011, 14:53

alex2007

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genau gesagt habe ich zwar letztendlich das gemacht, was du so aufgeschrieben hast, alerdings habe ich es nicht in der reihenfolge getan.

ich habe schließlich erst die reihendarstellung für den sinus verwendet, diese reihe aufgelöst, dann durch x geteilt und dann von dem ganzen den grenzwert gebildet und das darf ich ja wohl tun oder nicht?

07.01.2011, 21:33

pseudo-nym

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RE: eigentliche und uneigentliche Grenzwerte

Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {sin\, x}{x}= 1-0+0-...\pm... \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt läuft auf das heraus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x}= \lim_{x \to 0} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \stackrel{!}{=} \sum\limits_{n=0}^\infty \lim_{x \to 0} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 \end{eqnarray*}$
(Und wie ich schon sagte kann man das erstmal nicht so machen.)

26.01.2014, 15:20

Hamude

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} \frac {x^2+1}{x} \end{eqnarray*}$

Was bedeutet denn eig. der Pfeil nach unten nach dem x?

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