Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung

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schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »
Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Meine Frage:
Guten Abend,
ich rechne gerade an dieser gleichung für das Federpendel herum:
1)mx" + rx' + Dx= 0
Um das ganze in die Form einer abc-Formel zu bringen, teile ich durch m
2)x" + (rx')/m + D/m
und hier kommt meine erste Frage auf, denn bei D/m verschwindet das x einfach, aber warum?
So, dann geht es weiter mit meiner abc-Formel:


und die Wurzel dann noch durch 2*r/m teilen (Ich habe dies mit dem Formeleditor leider nicht hinbekommen)
doch da taucht mein nächstes Problem auf:
Ist dieses K was ich am Anfang der abc-Formel habe (und die abc-Formel allgemein) richtig?denn ich dachte mir da ich ja später auf die Formel Ce^kx herauswill setzte ich mal K ein.
So und wie schon gesagt habe ich am Ende meine Formel C1e^kt+C2e^kt
Doch was kommt vor diese Formel, also was habe ich da überhaupt berechnet?




Meine Ideen:
Rein spontan hätte ich vor y(t) vor die C1e^kt usw Formel gesetzt.
Doch dadurch weiß ich immer noch nicht was ich ausgerechnet hätte, also dass zB ein s(t) oder v(t) vor der Formel steht.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Zitat:
Original von schlagzeugfreak
ich rechne gerade an dieser gleichung für das Federpendel herum:

Wenn ich mir anschaue was du nach dieser Ansage so machst, bin ich mir nicht sicher, ob du dir im klaren bist, was es heißt eine Differentialgleichung zu lösen und wie sich eine solche Lösung z.B. von der Lösung einer quadratischen Gleichung unterscheidet.
Wenn nicht, so musst du dir das unbedingt klar machen, bevor du noch länger planlos Zeichen herumschiebst.


Zitat:
Original von schlagzeugfreak
1)mx" + rx' + Dx= 0

Ich nehme an, das ist eine Abkürzung für

wobei die erste Ableitung von x nach t ist?


Zitat:
Original von schlagzeugfreak
Um das ganze in die Form einer abc-Formel zu bringen[...]

Da die entsprechende Lösungsformel weiter unter verwendest, vermute ich du redest von der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Quadratische Gleichungen und lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung sind erstmal zwei völlig verschiedene Objektklassen. Lösungsmethoden der einen Klasse auf die andere zu übertragen, geht nicht.
Du kannst diese Differentialgleichung also nicht mit der abc-Formel lösen.

Auf die formalen Fehler gehe ich dann ein wenn die inhaltlichen behoben sind.

In welchem Rahmen willst du diese Gleichung denn lösen? Schule, Eigeninteresse...

DQDDQDQQ
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Ok jetzt schockierst du mich ein bischen.
Mit deiner ersten Vermutung dass x" x"(t) sein soll hast du recht, denn es heißt ja auch a(t).
Nur ich habe es nirgends gefunden dass dies jemand so ausschreibt.
Jetzt zu den DGL's:
Ich habe mich an Rechnungen wie zB
y"+3y+2y=0 orientiert.
Diese habe ich dann zu k"+3k+2=0 gemacht, die abc Formel angewendet und die beiden Ergebnisse -1 und -2 herausbekommen.
Und diese dann in y=C1e^-1x+C2e^-2x eingesetzt.
Für mich war dies jetzt eine DGL 2.Ordnung. Du hast mich jetzt sehr überrascht dass es dies für dich nicht ist.

Zu der Sache mit dem Pendel habe ich mich an diesem Video orientiert:
http://www.youtube.com/watch?v=cLEFS4vIB3o
Dazu gibt es noch 3 Fortsetzungsvideos, diese sieht man da ja dann rechts nebendran.

Die Gleichung brauche ich für die Schule (12. Klasse), da ich ein Referat mache über DGL's und ihre Lösungen. Nur hatten wir halt noch nie so etwas in dieser Richtung, und das heißt ich muss mir alles selber beibringen.
Schonmal im Vorraus danke für deine Hilfe
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Zitat:
Original von schlagzeugfreak
Zu der Sache mit dem Pendel habe ich mich an diesem Video orientiert:
http://www.youtube.com/watch?v=cLEFS4vIB3o
Dazu gibt es noch 3 Fortsetzungsvideos, diese sieht man da ja dann rechts nebendran.

In diesem Video werden ja nur Differentialgleichung aufgestellt. Erklärt wird da nichts.

Zitat:
Original von schlagzeugfreak
Die Gleichung brauche ich für die Schule (12. Klasse), da ich ein Referat mache über DGL's und ihre Lösungen.

Da würde ich dir dringend nahelegen, deinen Lehrer zu bitten die Aufgabenstellung zu präzisieren.
Die Theorie der DGLn ist ein rießiges Gebiet in dem sich forschungstechnisch immer noch was tut.
Du kannst dein Referat nur über einen Teil dieses Gebiets halten.

Unabhängig davon wirst du wohl erstmal damit anfangen müssen, die Defintion einer Differentialgleichung zu verstehen.
Eine mächtige aber wohl nicht sehr anfängerfreundliche Definition bietet die Wikipedia, aber mit ein bischen googlen sollten sich auch noch Alternativen finden.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Aber ich habe in meinem Bsp die DGL ja auch nur aufgestellt. Ich habe ja keine exakten Werte eingesetzt.
Er hat zu mir gemeint, ich soll bei der DGL 2. Ordnung am Besten ein physikalisches Beispiel nehmen und da bin ich eben auf diese Pendelsachen gestoßen.
Ja da gibt es aber das Problem dass ich die Ausarbeitung des Referates nächste Woche abgeben muss und ich habe mit der DGL 1. Ordnung relativ früh begonnen für das Referat und habe mit gedacht wenn ich diese begriffen habe wird die der 2. Ordnung auch nicht mehr so lange dauern auszuarbeiten und habe es ein bischen schleifen lassen.
Kannst du mir bitte sagen wie so eine DGL 2. Ordnung denn aussieht? Denn ich bin fest davon ausgegangen dass sie so wie in meinem Bsp wo K -1/-2 herauskommt aussieht.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Hier habe ich auch noch etwas gefunden:
http://www.sibbarp.de/2_GMA2/GMA2_DGL2.pdf

Unter 1.1 Fall 1

Genau von so etwas bin ich immer ausgegangen.
 
 
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, jetzt weiß ich was du willst.
Ich dachte nur die ganze Zeit, du würdest wissen wollen was Differentialgleichungen sind und wie sie funktionieren.

So kann man das schon machen, allerdings musst du aufpassen, dass dein K nicht eindeutig ist, sondern die abc-Formel hat zwei Lösungen (in deinen Formeln mit benannt hat).

Am Ende erhälst du dann die Lösung
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »

ok gut. Dass K mehrere Lösungen haben kann und dass ich dies auch wirklich so beim K hinschreiben muss werde ich berücksichtigen.
Doch dann wären wir ja jetzt wieder bei meinen allerersten Fragen.
Kannst du mir bei denen bitte auch weiterhelfen?smile
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Du meinst dein Umformungsproblem?
Zitat:
Original von schlagzeugfreak
1)mx" + rx' + Dx= 0
Um das ganze in die Form einer abc-Formel zu bringen, teile ich durch m
2)x" + (rx')/m + D/m
und hier kommt meine erste Frage auf, denn bei D/m verschwindet das x einfach, aber warum?

Ich verstehe nicht was du da machst. Wenn ich

auf beiden Seiten durch m teile erhalte ich.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Federpendel Schwingung mit Reibung Differentialgleichung 2. Ordnung
Ne bei der Umformung habe ich ja an sich nichts anderes raus als du, nur dass ich x nicht in Abhängigkeit mit t gesetzt habe. Du hast bei D/m aber auch x(t) stehen lassen, aber bei dem Video, an dem ich mich orientiert habe,fällt dieses auf einmal weg, und dieses muss es ja auch, da ich für eine normale abc-Formel nur 2 Variablen brauche, also ax²+bx+c=0 und nicht ax²+bx+cx=0

Mein nächstes Problem war, was ich mit meiner Formel überhaut ausgerechnet habe.Denn man schreibt jetzt als Lösung x(t)=C1e usw, doch was sagt mir dieses x(t)?
Ist damit s(t) gemeint oder etwas anderes?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Umformung angeht ist die Differentialgleichung

in einer Form
s. Quelle
Für

Eine Differentialgleichung mit heißt homogen und damit kannst du den Lösungsweg 1.1 in deiner Quelle beschreiten.

Zitat:
Original von schlagzeugfreak
Mein nächstes Problem war, was ich mit meiner Formel überhaut ausgerechnet habe.Denn man schreibt jetzt als Lösung x(t)=C1e usw, doch was sagt mir dieses x(t)?

Um dieser Frage auf den Grund zu gehen musst erst verstehen was eine Differentialgleichung und was eine Lösung einer Differentialgleichung ist.

Ich habe noch mal ein bischen gekramt und denke, dass dieser Wikipedia-Artikel besser verständlich sein sollte (du brauchst nur den Teil bis einschließlich der gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Als nächstes bräuchtest du den Begriff der Lösung. Eine partikuläre Lösung einer Dgl auf einem Intervall J ist eine Funktion für die gilt



Jedes Element der Funktionsschar ist eine partikuläre Lösung deiner Dgl.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok du willst mir damit glaube ich sagen dass eine DGL keine exakte Lösung, sondern eine Funktion als Lösung hat oder?
Doch wie könnte dann eine Aufgabe aussehen, wo ich etwas mit so einer DGL rechnen muss.
Denn ich kann mir nicht vorstellen, wie so eine Aufgabe formuliert sein kann und auf was ich da reinnehmen muss,
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit einer exakten Lösung eine Zahl meinst, dann ja. Eine partikuläre Lösung einer Dgl ist eine Funktion und keine Zahl.

Eine Aufgabe die man stellen könnte wäre:
Bestimmen sie eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung
auf den reellen Zahlen.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »

oh ich dachte jetzt eher an eine phsikalische Aufgabe.
Denn gerade die Aufgabenstellung ist mein Problem. Mir ist bewusst dass dann Werte für zb D=5Nm gegeben sind, aber wie dies genau aussehen soll weiß ich nicht
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wie die Modellierung eines tatsächlichen physikalischen Sachverhalts am besten anzustellen ist, fragst du wohl am besten bei den Physikern.

Vor allem aber finde ich, dass du dich entscheiden solltest:
Willst du über Lösungsmethoden von Dgln. referieren?
Oder willst eine physikalische Anwendung modellieren bei der eine Differentialgleichung durch Einsetzen in gegebene Formeln ohne tieferes Verständnis gelöst wird?

Wenn du nicht gerade ein überlanges Referat halten sollst, sehe ich nicht wie du beides auf einmal hinkriegen könntest.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dass mit dem Physik-board werde ich gleich machen.
Ich will sozusagen beides,aber nicht ewig lang ausgeführt.
Ich habe mir das so vorgestellt, dass ich am Anfang ein grundlegendes Beispiel mache, also so etwas wie das worüber wir die ganze Zeit gesprochen haben(also ohne bestimmte Werte eingesetzt).
Doch dann will ich dieses Bsp mit einer Aufgabe verbinden, also genau das gleiche an sich, nur dass diesmal Werte gegeben sind, denn meiner Meinung nach ist sich so etwas leichter zu merken als nur trockene Zahlen/Variablen vor sich zu haben.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht genau, wie gut deine Kenntnisse im Lösen von Differentialgleichungen sind, besonders im Hinblick auf Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten, daher schlage ich vor:

Fang doch erst einmal mit grundlegenden Beispielen an und betrachte die Funktionen (und spiele etwas damit herum):
x=sin(t)
x'=cos(t)
x''=-sin(t)
Man erkennt: x=sin(t) ist eine Lösung der DGL: x''+x=0

Und ebenso
x=cos(t)
x'=-sin(t)
x''=-cos(t)
Man erkennt ebenso: x=cos(t) ist ebenso eine Lösung der DGL: x''+x=0

Nun betrachte
x=a*sin(t+b)+c*cos(t+d) mit konstanten Werten a, b, c und d
x'=-a*cos(t+b)-c*sin(t+d)
x''=-a*sin(t+b)-c*cos(t+d)
Man erkennt wieder: x=a*sin(t+b)+c*cos(t+d) ist ebenso eine Lösung der DGL: x''+x=0

Nun betrachte
x=a*sin(kt) mit konstanten Faktoren a und k
x'=ak*sin(kt)
x''=ak²*sin(kt)
Jetzt erkennt man: x=a*sin(kt) ist eine Lösung der DGL x''+k²*x=0
und ebenso x=b*cos(kt) usw.

Jetzt betrachte mx''+Dx=0 und vergleiche mit x''+k²*x=0
Was erhältst du für k und die Lösung der DGL?

Jetzt betrachte mx''+rx'+Dx=0 und versuche, eine Lösung zu finden.
Der Ansatz x=a*sin(kt) hilft hier nicht weiter, wie man schnell durch Einsetzen feststellt.

Nun kann man es versuchen mit dem Ansatz:
x=e^(kt)
x'=k*e^(kt)
x''=k²*e^(kt)
und erhält für k die charakteristische Gleichung: mk²+rk+D=0
mit den beiden Lösungen k=-r/(2m)+-Wurzel(r²/(4m²)-D/m)

und jetzt ganz formal als Lösung x(t)=a*e^(k1*t)+b*e^(k2*t)
mit aus den Anfangsbedingungen zu bestimmenden Faktoren a und b
und komplexen Werten k1 und k2, wenn es sich um gedämpfte periodische Schwingungen handelt,
die sich (mit weitergehenden Kenntnissen) umformen läßt zu einer Lösung in der Form von
x(t)=a*e(-kt)*sin(wt+b).


Beispiel für eine an einer Feder aufgehängte Masse, die um 3 Längeneinheiten nach unten gezogen und dann losgelassen wird.
schlagzeugfreak Auf diesen Beitrag antworten »

Hey etzwane,
danke für deinen Beitrag aber das Problem hat sich im Physiker-Board geklärt in dem ich einfach eine Aufgabe ohne Reibung genommen habe.
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