Gilt Eisenstein auch für Z[X]

07.01.2011, 11:25

Duude

Gilt Eisenstein auch für Z[X]

Hallo,
Ich habe nochmals eine Frage zum Eisensteinkriterium. Und zwar steht bei Wikipedia dieses Kriterium nur für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Außerdem steht da:

Zitat:

Insbesondere für eine Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ kann man das Kriterium nur indirekt benutzen. Es gilt natürlich: P(x) normiert und irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \Rightarrow \end{eqnarray*}$ P(x) irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ .

Wir haben es in der Vorlesung aber für beliebige Integritätsringe aufgeschrieben. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ auch ein Integritätsring ist, müsste das Kriterium demnach auch hier gelten. (also direkt für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ohne die Irreduzibilität erst über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ zu zeigen und dann auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ zu schließen.)

Als Beispiel würde ich gerne das Polynom $\begin{eqnarray*} 2x^5 + 6X^3 -6X^2+3 \end{eqnarray*}$ behandeln und untersuchen, ob es über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ zerlegbar ist.

Nach meinem jetzigen Wissen würde ich sagen, dass das Polynom irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ist, da es das Eisensteinkriterium zu p=3 erfüllt. Es ist primitiv und die 3 teilt 3, 3 teilt 6, 3 teilt nicht 2 und 9 teilt nicht 3.
Stimmt ihr mir da zu?

Ich freue mich wie immer über jede Hilfe.

lg
Duude

07.01.2011, 14:09

Reksilat

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RE: Gilt Eisenstein auch für Z[X]
Das Eisensteinkriterium gilt zuallererst mal für $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ , denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist es nicht mal sinnvoll, von so etwas wie $\begin{eqnarray*} p|a_0, p\not|a_0^2 \end{eqnarray*}$ zu sprechen, da ja sowieso alle Körperelemente sich gegenseitig teilen.

Es folgt auf jeden Fall zuerst die Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ – nur steht das eben nicht da. Alles weitere was da zur Irreduzibilität in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray*}$ steht, ist dann der Gauß.

Schau Dir den Beweis an, da geht es überall um Teilbarkeit und damit kann man in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ überhaupt nichts anfangen.

Gruß,
Reksilat.

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