Integral

07.01.2011, 11:33

integral99

Integral

Hallo, ich habe hier ein Integral, das ich nicht lösen kann. Ich soll x = 1/z setzen.
Könnt ihr mir helfen? danke

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x\sqrt{x^2-1} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{z\sqrt{(\frac{1}{z})^2-1} } \, dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{z\sqrt{(\frac{1}{z})^2-\frac{z^2}{z^2} } } \, dz \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich diese blöde Wurzel weg???

07.01.2011, 11:45

klarsoweit

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RE: Integral

Zitat:

Original von integral99
Hallo, ich habe hier ein Integral, das ich nicht lösen kann. Ich soll x = 1/z setzen.

Hmm. Ich hätte eher $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 2 \cdot (z + \frac 1 z) \end{eqnarray*}$ erwartet.

Zitat:

Original von integral99
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{z\sqrt{(\frac{1}{z})^2-\frac{z^2}{z^2} } } \, dz \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich diese blöde Wurzel weg???

Du kannst noch umformen in $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{1 - z^2} } \, dz \end{eqnarray*}$ .
Das setzt aber voraus, daß du dieses Integral kennst.

07.01.2011, 11:52

integral99

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Kannst Du mir bitte diese Umformung erklären? Ich komm da irgendwie nicht mit:

Vielen Dank

07.01.2011, 12:09

chili12

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In deiner Umformung ist mMn ein Vorzeichenfehler:

aus x= 1/z folgt ja

dx = -1/(z^2)dz

daraus ergibt sich erstmal:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\frac{1}{z}\sqrt{(\frac{1}{z})^2-\frac{z^2}{z^2} } }*(-\frac{1}{z^2}) \, dz \end{eqnarray*}$

Bruch im Nenner heisst ja mit dem Kehrwert multiplizieren. Ausserdem kann man die Wurzel aus Nenner und Zähler einzeln nehmen. Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{z}{\frac{\sqrt{1-z^2}}{\sqrt{z^2} } }*(-\frac{1}{z^2}) \, dz \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}*(-\frac{1}{z^2}) \, dz \end{eqnarray*}$

Noch kürzen:

$\begin{eqnarray*} \int \! -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \, dz \end{eqnarray*}$

Die Stammfunktion davon kann man in Tabellen nachschlagen und lautet: arccos(z)

Jetzt musste nurnoch resubstituieren.

mfg

07.01.2011, 15:20

integral99

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du meinst wohl -arcsin(z)

07.01.2011, 18:16

chili12

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Beides ist richtig man muss nur verschieden substituiern:

$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{\sqrt{1 - x^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

1. Fall: cos(z)=x -> -sin(z)dz = dx

$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{sin(z)} \cdot (-sin(z)) \, dz = \int \! 1\, dz = z = arccos(x) \end{eqnarray*}$ .

2. Fall sin(z)=x -> cos(z)dz=dx

$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{cos(z)} \cdot cos(z) \, dz = -\int \! 1\, dz = -z = -arcsin(x) \end{eqnarray*}$

mfg

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