Abstand Punkt-Gerade |
| 07.01.2011, 13:44 | Dimov | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abstand Punkt-Gerade Hallo! Könnte mir jemand mit der folgenden Aufgabe helfen? Vielen Dank im Voraus! "Gegeben seien die geraden: g1: (-3 7 4) + t(-1 1 0) g2: (3 4 1) + s(2 2 -2) Bestimmen Sie alle Punkte auf g1, die von der Geraden g2 den Abstand Wurzel 2 haben." Meine Ideen: Keine Ideen |
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| 08.01.2011, 00:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Voraussetzung dafür, dass die Aufgabe eine Lösung hat, ist die, dass der kürzeste Normalabstand a (Länge des Gemeinlotes) der beiden gegebenen Geraden kleiner oder gleich als ist. Das muss man zuerst prüfen, wobei das keine Mehrarbeit ist, weil im Folgenden die Länge des Gemeinlotes ohnehin gebraucht wird. Wir überlegen uns, an welchem Ort die gesuchten Punkte liegen müssen und bedienen uns dabei einer geometrischen Lösungsmethode (Methode des geometrischen Ortes): Alle Punkte, die von g2 einen bestimmten Abstand haben, liegen auf einem Zylinder, dessen Radius gleich diesem Abstand ist und dessen Achse auf der Geraden g2 liegt. Die gesuchten Punkte sind dann die Schnittpunkte der Geraden g1 mit der Mantelfläche dieses Zylinders. Wir wissen nun, dass es im Normalfall 2 Lösungen geben wird, die beiden Punkte seien S1, S2. Nun wird noch berücksichtigt, dass der auf g1 liegende Endpunkt E des Gemeinlotes die Strecke S1S2 halbieren muss und dass auch gilt: weil das Dreieck EFS1 bzw. EFS2 rechtwinkelig ist (F ist der auf g2 liegende Endpunkt des Gemeinlotes). Dieser Sachverhalt wird erkennbar, wenn man in einer Skizze die Gerade g2 projizierend zeichnet. g2 erscheint dann als Punkt, der Zylinder als Kreis um diesen mit dem Radius . E halbiert S1S2 und F fällt mit g2 zusammen. EF ist senkrecht zu g1. Man muss also von E aus den aus der obigen Gleichung errechneten halben Abstand von SS2 nach beiden Seiten auf g1 auftragen und gelangt damit zu den Punkten S1 und S2. mY+ |
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