Grenzwerte mit L'hopital

07.01.2011, 14:37

meteo

Grenzwerte mit L'hopital

HI, folgendes Problem:

Bestimme folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{log(1+e^x)}{\sqrt{1+x^2} } \end{eqnarray*}$

also ich habs mal mit der Regel von L'hopital versucht. Wenn ichs einmal anwende erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{e^x}{1+e^x} }{\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } } \end{eqnarray*}$

aber da hab ich ja immer noch "unendlich durch unendlich".

Dann hab ich versucht nochmal die Regel anzuwenden und erhalte somit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{e^x}{(e^x+1)^2} }{\frac{1}{(x^2+1)^\frac{3}{2} } } \end{eqnarray*}$

und das wäre ja dann sozusagen "unendlich durch 0"

hilft mir also auch nicht weiter... oder hab ich wo einen Fehler drin/was übersehen?

kann mir jemand weiterhelfen?

07.01.2011, 14:47

klarsoweit

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RE: Grenzwerte mit L'hopital

Zitat:

Original von meteo
aber da hab ich ja immer noch "unendlich durch unendlich".

Nein, hast du nicht. Gegen was konvergiert denn der Zähler?

07.01.2011, 14:58

meteo

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kann ich da beim Zähler oben und unten mal 1/e^x nehmen, dann würde der Zähler gegen 1 gehen...

dann würde das ganze "1 durch unendlich" sein, also gegen 0

07.01.2011, 15:00

klarsoweit

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Nachdem du schon beim Zähler daneben gelegen hast, wäre es doch eine Idee, mal zu schauen, ob der Nenner nicht doch gegen einen endlichen Wert konvergiert. Augenzwinkern

@Evelyn: es wäre nett, wenn du mir wenigstens 5 Minuten zum Antworten gönnst. Danke.

07.01.2011, 15:01

Evelyn89

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Ich denke du hast nichts falsch gemacht, aber man kann die Sache einfacher angehen.

Dein 1. Schritt war auf jeden Fall okay.

Du hattest ja $\begin{eqnarray*} ~ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1+e^x} \cdot \frac{ \sqrt{1+x^2}}{x} ~ \end{eqnarray*}$ raus.

Benutze hier die Regel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \cdot b_n = (\lim_{n \to \infty} a_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} b_n) ~ \end{eqnarray*}$

Damit solltest du es hinkriegen. Falls nicht, dann frag einfach nochmal nach.

07.01.2011, 15:11

meteo

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Jetzt bin ich ein wenig verwirrt...

also indem fall geht doch $\begin{eqnarray*} \frac{e^x}{e^x+1} \end{eqnarray*}$ gegen 1

beim zweiten Grenzwert hab ich gerade herumprobiert, komme aber auf keinen grünen Zweig...

07.01.2011, 15:38

klarsoweit

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Wo ist das Problem?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{1+x^2}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}}{x} \end{eqnarray*}$

Von dem, was unter der Wurzel ist, kann man leicht den Grenzwert bilden.

07.01.2011, 15:44

meteo

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unter der Wurzel gehts gegen 1...

jetzt hab ichs, dass heißt der Grenzwert geht auch gegen 1. Dh. alles zusammen geht gegen 1.

Danke für die Hilfe!

07.01.2011, 16:43

Evelyn89

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sorry, wenn ich dich durcheinander gebracht habe.
hoffe, du hast es jetzt verstanden.

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