Monotonieintervalle

07.01.2011, 14:41

komplex

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Monotonieintervalle

Meine Frage:
Funktion lautet:

e^(x/x^2-3x+2)

a)Monotonieintervall

b)extremwert
wie umgehe ich die zweite ableitung?

Meine Ideen:

a)-wurzel(2)<x<wurzel(2)---> mein ergebnis was bedeutet das jetzt genau
wann ist es streng monoton steigend und wann streng monoton fallend?richtig?

b)extremwert an der stelle wurzel(2)

07.01.2011, 15:01

komplex

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RE: Monotonieintervalle
hat keiner lust über die antwort zu diskutieren?

07.01.2011, 15:08

komplex

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RE: Monotonieintervalle
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07.01.2011, 15:25

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
Funktion lautet also:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac {x}{x^2-3x+2}} \end{eqnarray*}$

ja?

Also erstmal schau ich mir die Funktion an und sehe, dass sie keine Nullstelen hat, dafür aber 2 Definitionslücken (Nullstellen des Nennerpolynoms). Das mache ich, weil sich zwischen 2 Nullstellen die Monotonie auch ändert.

Dann wissen wir noch, dass sich an ner Extremstellen die Monotonie ändert. Also bei einem Maximum von steigend zu fallend und bei einem Minimum von fallend zu steigend. Also brauchen wir unsere Extrema und schon hast du deine Intervalle. zwischen diesen Extrema müsste klar sein was passiert. Die Extremstellen selber gehören dann nicht dazu, da an diesen Stellen kein Anstieg vorhanden ist. Und natürlich die nicht definierten Stellen raus lassen aus der Intervall angabe.

Für die Ableitung lohnt es sich vielleicht die Funktion etwas umzuschreiben. Dann musst die Kettenregel anwenden, dann sollte es kein Problem geben.

07.01.2011, 15:39

Komplex

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RE: Monotonieintervalle
Also das bedeutet jetzt:

-wurzel(2): streng monton steigend

wurzel(2):streng monoton fallend

Extremwert:

1. Ableitung:

e^(x/x²-3x+2) * 2-x²/(x²-3x+2)²=0 /geteilt durch e^..

2-x²/(x²-3x+2)²=0 /*(x²-3x+2)²

2-x²=0

x²=2

x=wurzel(2)

so und wie umgeh ich jetzt genau die zweite Ableitung?

07.01.2011, 15:49

komplex

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RE: Monotonieintervalle
und wenn ich es richtig jetzt verstanden habe lauten meine intervale:

(-wurzel(2)/1)

(wurzel(2)/2)

1,2 sind die nullstellen !

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07.01.2011, 15:52

alex2007

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RE: Monotonieintervalle

Zitat:

Original von Komplex
Also das bedeutet jetzt:

-wurzel(2): streng monton steigend

wurzel(2):streng monoton fallend

Extremwert:

1. Ableitung:

e^(x/x²-3x+2) * 2-x²/(x²-3x+2)²=0 /geteilt durch e^..

2-x²/(x²-3x+2)²=0 /*(x²-3x+2)²

2-x²=0

x²=2

x=wurzel(2)

so und wie umgeh ich jetzt genau die zweite Ableitung?

Kannst du mal bitte die Funktion in LATEX aufschreiben mittels des Formeleditor, sonst kann ich die Bildung deiner 1. Ableitung nicht nachvollziehen. Die Funktion scheint doch nicht so auszusehen, wie ich es aufgeschrieben habe, aber dann ist deine Kommasetzung Unfug. Schreib sie bitte mit dem Formeleditor mal auf.

07.01.2011, 15:53

alex2007

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RE: Monotonieintervalle

Zitat:

Original von komplex
und wenn ich es richtig jetzt verstanden habe lauten meine intervale:

(-wurzel(2)/1)

(wurzel(2)/2)

1,2 sind die nullstellen !

Das müsste dementsprechend stimmen. Was passiert zwischen 1 und wurzel 2?

Wenn deine Extremwerte stimmen. Dafür müsstest mir die Funktion aber mal ordnungsgemäß und korrekt aufschreiben, denn so wie ich sie laut deiner kommasetzung verstanden habe, hat sie keine extremwerte.

07.01.2011, 16:08

komplex

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RE: Monotonieintervalle
ich hoffe das klappt mit diesem latex!

Meine 1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} e^{x/x^2-3x+2} * 2-x^2/(x^2-3x+2)^2 \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 16:13

komplex

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RE: Monotonieintervalle
Um auf deine Frage noch mal einzugehen, was zwischen 1 und wurzel(2) passiert:

da ist doch dann die funktion streng monoton steigend

07.01.2011, 16:15

alex2007

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RE: Monotonieintervalle

Zitat:

Original von komplex
ich hoffe das klappt mit diesem latex!

Meine 1.Ableitung:

$\begin{eqnarray*} e^{x/x^2-3x+2} * 2-x^2/(x^2-3x+2)^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn auf diese ableitung? also so wie die Funktion da steht ist das einfach falsch.

Oder lautet die Funktion:

$\begin{eqnarray*} \frac {e^x} {x^2-3x+2} \end{eqnarray*}$

?

Wenn die Funktion allerdings

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{x} {x^2-3x+2}} \end{eqnarray*}$

lautet, dann erklär mir bitte, wie du auf so eine Ableitung kommst?

07.01.2011, 16:24

komplex

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RE: Monotonieintervalle
okay kein problem:

funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} e^{x/x^2-3x+2} \end{eqnarray*}$

dann bildet sich die e-funktion erstmal auf sich selber ab:

f'(x)= $\begin{eqnarray*} e^{x/x^2-3x+2} \end{eqnarray*}$

Danach wende ich die Kettenregel an um die innere Ableitung zu erhalten und stelle zugleich fest ich brauch die Quotientenregel mit Vereinfachung erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} 2-x^2 / (x^2-3x+2)^2 \end{eqnarray*}$

und dann vereinige die e-funktion mit der Inneren Ableitung:

f'(x)= $\begin{eqnarray*} e^{x/x^2-3x+2}*2-x^2 / (x^2-3x+2)^2 \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 16:38

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
Das Problem liegt hier darin, das du völlig falsch vorgehst. Die e-Funktion bildet sich auf sich selber ab, das ist richtig, aber das gilt für e^x und nicht für eine weiter verkettete Version. Hier muss ich die Funktion erstmal umschreiben um uberhaupt auf äußere und inner Funktion zu kommen.

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{\frac{x}{x^2-3x+2}}= \left(e^{x} \right) ^{\frac{1}{x^2-3x+2}} \end{eqnarray*}$

So wie muss jetzt die Ableitung dementsprechend lauten, wenn ich ganz normal die Kettenregel verwende?

07.01.2011, 16:44

komplex

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RE: Monotonieintervalle
vielleicht hilft es uns wenn wir uns einfach mal ne einfache ableitung anschauen:

$\begin{eqnarray*} e^2x \end{eqnarray*}$

ergibt abgleitet meiner meinung nach und dem papula nach:

$\begin{eqnarray*} 2e^2x \end{eqnarray*}$ und was anderes ist die andere funktion ja im grunde auch nicht !

07.01.2011, 16:46

komplex

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RE: Monotonieintervalle
So meinte ich das:

vielleicht hilft es uns wenn wir uns einfach mal ne einfache ableitung anschauen:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$

ergibt abgleitet meiner meinung nach und dem papula nach:

$\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ und was anderes ist die andere funktion ja im grunde auch nicht !

07.01.2011, 16:50

alex2007

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RE: Monotonieintervalle

Zitat:

Original von komplex
vielleicht hilft es uns wenn wir uns einfach mal ne einfache ableitung anschauen:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$

ergibt abgleitet meiner meinung nach und dem papula nach:

$\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ und was anderes ist die andere funktion ja im grunde auch nicht !

Das ist korrekt und genau das selbe Prinzip, wie ich verwende, denn:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x}=\left(e^x\right)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nach der der Kettenregel ableite mit der inneren Funktion e^x, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\left(e^x\right)^1\cdot e^x=2e^{2x} \end{eqnarray*}$

Verstehste jetzt, dass deine herangehensweise nen Denkfeheler hat?
So jetzt bilde mal die Ableitung nach meiner Umformung, die ich dir im vorigen Post angegebn habe.

Edit: ich sehe gerade du hast recht, mann kann auch die innere ableitung der potenz vor den eigentlichen Term schreiben. Beide Methoden müssen zum gleichen Ergebnis führen.

07.01.2011, 17:02

komplex

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RE: Monotonieintervalle
also meiner meinung nach dröseln wa die funktion mal auf:

und kommt aus der ausgangsfunktion 2 funktionen zusammen:

1.h(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

2.g(x)= $\begin{eqnarray*} x/x^2-3x+2 \end{eqnarray*}$

und die sind miteinander verkettet in der funktion!

denn

f(x)= $\begin{eqnarray*} h(x)^{g(x)} \end{eqnarray*}$

und die kettenregel besagt bei verkettung von funktionen gilt innere mal äußere Ableitung!

und die beiden funktionen sind miteinander verkettet.

07.01.2011, 17:14

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
Ja, das ist mir alles klar. Wie gesagt, es sind beide Wege richtig.

Für unser einfaches Beispiel gibt es also die Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x}=\left(e^{x} \right) ^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 2\cdot \left(e^{x} \right) \cdot e^x = 2e^{2x} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{2x}\cdot (2x)'=2e^{2x} \end{eqnarray*}$

kommt also aufs selbe hinaus. Ok, war also mein Fehler.

07.01.2011, 17:18

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
Du musst jetzt noch die Defintion für streng monoton wachsend und streng monoton fallend mit verwenden. Also x und x+1 einsetzen und je nachdem ob größer oder kleiner haste dein monotonie verhalten. Weil ohne 2. Ableitung weiste ja nicht, was minimum, was maximum ist. deswegen einfach mal einsetzen. so sparste dir auch deine 2. Ableitung.

PS: Kann mal bitte jemand übernehmen, da ich los muss.

07.01.2011, 17:20

komplex

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RE: Monotonieintervalle
okay...

Um jetzt noch noch mal auf meine andere Frage zurückzukommen:

Ich weiß jetzt, ich hab eine Extremestelle, kenne aber noch nicht die art der Extremstelle und normalerweise wird dann die zweite Ableitung gebildet, doch jetzt wurde in meiner Vorlesung nicht die zweite Ableitung gebildet sondern schon anhand der Monotonieintervalle festgestellt um welche art es sich handelt und genau diesen Schritt hab ich nicht verstanden und es wär nett wenn du mir das auf irgendeinem wege klarmachen könntest wie das funktioniert!

07.01.2011, 19:29

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
Für streng monoton Steigend muss gelten: f(x)<f(x+1)

Für strend monoton fallend muss gelten: f(x)>f(x+1)

Damit musst du arbeiten. Dann bekommste raus, welches Monotonie Verhalten vor dem Extremwert und nach dem Extremwert vorliegt und daraus kannste die Art des Extremwerts feststellen.

Beim Maximum muss vor dem Extremwert steigend und danach fallende Monotonie vorliegen. Beim Minimum entsprechend andersrum.

08.01.2011, 23:25

alex2007

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RE: Monotonieintervalle
das war n denkfehler...muss natürlich heißen:

streng mon. wachsend für f'(x)>0

streng mon. fallend für f'(x) <0

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