Grenzwert existiert nicht?

07.01.2011, 15:11

Holger124

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Grenzwert existiert nicht?

Hallo bekanntlich existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow \infty} cos(x) \end{eqnarray*}$ nicht, was klar ist.

Wenn ich aber nun eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} \xi(t) := v(t) cos(t) \end{eqnarray*}$ habe und den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ betrachten möchte (Was v ist sei mal dahingestellt), wie gehe ich dann genau vor? Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} cos(t) =1 \end{eqnarray*}$ setzen und nur noch v(t) betrachten???

Edit: LaTeX korrigiert, ich glaube du meintest ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ . LG Iorek

07.01.2011, 15:13

Airblader

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Nein. Wie man vorgeht hängt schwer von v ab. Aber falls v gegen Null konvergiert lässt sich eine allgemeine Aussage treffen, dann konvergiert nämlich auch dieses Produkt gegen Null.

Für beliebige Funktionen v lässt sich aber keine Aussage treffen. Weder über den Grenzwert, noch über Konvergenz. Man findet sofort Beispiele für Funktionen v, so dass dieses Produkt konvergent oder divergent wird.

Edit: Da mir langweilig ist:

$\begin{eqnarray*} v(t) = 0 \end{eqnarray*}$ - Konvergenz
$\begin{eqnarray*} v(t) = 1 \end{eqnarray*}$ - Unbestimmte Divergenz
$\begin{eqnarray*} v(t) = t \end{eqnarray*}$ - Bestimmte Divergenz

air

08.01.2011, 08:39

Holger124

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Undefined: $\begin{eqnarray*} f(t):= v(t)cos(t) \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du mit unbestimmter und bestimmter Divergenz?

Übrigens es gilt $\begin{eqnarray*} v(t) \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ und wenn ich den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \overline{f(t)}:= \vec{(v(t)cos(t),v(t)sin(t))} \end{eqnarray*}$ berechnen möchte bekomme ich dann immer einen Vektor mit Norm eins??!!

08.01.2011, 08:41

Holger124

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@Air: Die Steelers gehn mal gar nicht. Die Jets werden dieses Jahr den Superbowl gewinnen mein Freundchen.. ;-))))

08.01.2011, 11:16

Airblader

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Die Jets? Lachhaft. Du träumst wohl. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieses Jahr ist der siebte Finger dran. Freude

Freude

Bestimmte Divergenz bedeutet Divergenz gegen $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ . Unbestimmte Divergenz liegt dann vor, wenn weder Konvergenz, noch bestimmte Divergenz vorliegt (also z.B. das, was der Kosinus macht).

Und nein, der Grenzwert einer solchen Funktion ist i.A. nicht normiert.

air

08.01.2011, 11:34

Holger124

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Ach komm wer sind denn die Steelers? Wir werden jetzt erstmal die Colts aus dem Weg räumen und dann holen wir uns den Bowl! New York wird dir den Popo versohlen du wirst schon sehen... ;-)

Go New York Go!!!

Naja wie berechne ich denn $\begin{eqnarray*} \{ \lim_{n \rightarrow \infty} \overline{f(t)} \},\ t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gem. Lösung muss nämlich der Rand der Einheitskugel rauskommen?!

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08.01.2011, 13:53

Airblader

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Wer die Steelers sind? Sechsfacher SuperBowl-Gewinner, beste Defensive Line, Roethlisberger, Ward, Wallace, Polamalu, Harrison. Etliche Rekorde nicht aufgelistet. Aber ich freu mich für euch .. immerhin habt ihrs in die PlayOffs geschafft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Big Laugh

Zur Aufgabe: Der Limes existiert nicht. Sicher, dass du den Grenzwert bestimmen sollst? Poste am Besten mal die ganze Aufgabe im Originalwortlaut.

air

P.S.: Ich muss leider gleich weg und bin bis heute Abend nicht mehr online. Wenn also jemand übernehmen könnte ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2011, 20:16

Holger124

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Wäre auch besser wenn mir jmd. anders hilft, denn als waschechter New York Fan möchte ich keine Steelers Hilfer... ;-) (Spaß bei Seite, deine Hilfe ist sehr freundlich lieber AIRSTEELER..)

Also folgendes betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray*} x: [0, \infty[ \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x(t):= \vec{(r(t)cos(t), r(t)sin(t))} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} r(t):= \frac{r_0}{\sqrt{r_{0}^2 + (1-r_{0}^2)e^{-2t}}}. \end{eqnarray*}$ Nun möchte ich folgende Menge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)):= \{ z \in \mathbb{R}^2; \exists \ \text{eine Folge}\ (t_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset [0,\infty[, \ x(t_k) \rightarrow z, t_k \rightarrow \infty \} \end{eqnarray*}$

Und dies für den Fall $\begin{eqnarray*} r_0 \in [0, \sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} r_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ist trivial, denn dann ist $\begin{eqnarray*} r(t)=0 \end{eqnarray*}$ also ist dann $\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)) = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} r_0 \in ]0, \sqrt{2}[ \end{eqnarray*}$ . Für diesen Fall gilt stets $\begin{eqnarray*} r(t) \rightarrow 1, t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ . So wie haben im Tut folgende Lösung bekommen:
$\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)) = \partial K_1(0) \end{eqnarray*}$

Aber laut der Aussage von Air existiert dieser Grenzwert ja nicht. Aber sin und cos oszilieren immer zwischen null und eins und somit ist für mich plausibel, dass alle Vektoren mit Norm 1 rauskommen müssen??!! Ist die Lösung meines Tutors nun falsch oder verstehe ich etwas nicht richtig??

Danke für eure Hilfe.

08.01.2011, 20:46

Airblader

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Was du suchst ist halt auch kein Grenzwert, sondern Häufungspunkte, da es genügt, dass es irgendeine Folge gibt, so dass es gegen z konvergiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was mich noch stört ist die Definition von $\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)) \end{eqnarray*}$ . Ist da nicht eventuell noch strenge Monotonie der $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ gegeben oder steht da am Ende doch $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ etc.?

Da du weißt, was rauskommt (kann man sich ja auch denken) ist es nun an dir zu zeigen, dass für jeden Punkt dieser Lösung eine solche Folge existiert. Und dann natürlich auch, warum dies alle Lösungen sind.

ai

08.01.2011, 20:59

Holger124

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Also laut Skript

$\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)):= \{ z \in \mathbb{R}^2; \exists \ \text{eine Folge}\ (t_k)_{k \in \mathbb{N}} \subset [0,\infty[, \ x(t_k) \rightarrow z, t_k \rightarrow \infty \, k \rightarrow \infty \} \end{eqnarray*}$

Nein also Häufungspunkt haben wir über $\begin{eqnarray*} \inf \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ definiert. Ich sehe in der Defnition nicht ein, dass es da um Häufungspunkte gehen soll??

Und außerdem bedeutet $\begin{eqnarray*} x(t_k) \rightarrow z \end{eqnarray*}$ Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

08.01.2011, 21:07

Airblader

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Zitat:

Original von Holger124
Und außerdem bedeutet $\begin{eqnarray*} x(t_k) \rightarrow z \end{eqnarray*}$ Konvergenz gegen $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Ja, für eine Folge. Nicht für alle $\begin{eqnarray*} t \in [0, \infty[ \end{eqnarray*}$ . Schau dir mal das Folgenkriterium zur Konvergenz an und mache dir den Unterschied klar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Dieser kleine Absatz enthält eig. alles Nötige:
http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt#Teilfolgen

air

08.01.2011, 21:30

Holger124

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Ach ja ich hab mal wieder zu ungenau gelesen, es liegen unendlich viele aber nicht unbedingt alle in der Epsilon Kugel. Klar. Wir haben eine Folge t_k, man kann t_k sozusagen als Indexfolge interpretieren und bei konvergenz würden ab einem gewissen Index alle x(t_k) in der Epsilon Kugel liegen hingegen für eine Folge t_k liegen nur unendlich viele in der Epsilon Kugel.

08.01.2011, 21:41

Airblader

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Dem kann ich leider nicht ganz folgen.
Ich mache dir den Unterschied mal an einem Beispiel klar:

$\begin{eqnarray*} f\colon [0, \infty[ \to \mathbb{R}, t \mapsto \begin{cases}0 & t \in \mathbb{N} \\ e^t & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert diese Funktion sicherlich nicht. Wählen wir aber eine einzelne Folge $\begin{eqnarray*} t_k := k \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f(t_k) = 0 ~\forall_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und es gilt trivialerweise $\begin{eqnarray*} f(t_k) \stackrel{t_k \to \infty}{\longrightarrow} 0 \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} t_k \to \infty \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ ist).

Für eine gewisse Teilfolge konvergiert die Funktion also, insgesamt aber nicht. Der Unterschied zum Folgenkriterium (welches nicht von einer Folge, sondern von allen möglichen spricht) sollte klar sein.

Im Link steht jetzt auch: Ein Häufungspunkt ist es genau dann, wenn es eine solche Folge gibt. Für das Obige 'f' wäre die Null also ein Häfungspunkt, da ich eine solche Folge angegeben habe.

Jetzt ist es an dir, für deine Funktion zu zeigen, dass jeder Punkt auf dem Rand des Einheitskreises ein Häufungspunkt ist.

air

09.01.2011, 10:39

Holger124

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Zitat:

Dem kann ich leider nicht ganz folgen.

Naja ich meine das im Prinzip so bei Konvergenz einer Folge gilt $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists N:=N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} (*) \Vert x_n - x \Vert < \epsilon \end{eqnarray*}$ . Bei einem Häufungspunkt gilt das nur für unendlich viele natürliche Zahlen die größer als der Index $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ sind aber eben nicht unbedingt für alle. Und somit finden wir also eine Indexfolge $\begin{eqnarray*} n_j \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so, dass (*) gilt, falls x Häufungspunkt ist.

Das ist sozusagen unsere $\begin{eqnarray*} (t_k)_{k \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ Folge.

09.01.2011, 10:45

Holger124

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Der Notation halber muss es heißen $\begin{eqnarray*} n_j \in N \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 12:34

Airblader

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Ja, das ist okay. Habe das oben ja auch am Beispiel nochmal gezeigt. Du musst jetzt halt zeigen, dass die Punkte des Einheitskreisrandes Lösungen sind (und dass es die einzigen Lösungen sind).

air

09.01.2011, 13:29

Holger124

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Das folgt leicht wg. $\begin{eqnarray*} \sqrt{cos(x)^2 + sin(x)^2}=1 \ \forall x \in [0, \infty[ \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 13:34

Airblader

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Das überzeugt mich davon, dass $\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)) \subset \partial K_1(0) \end{eqnarray*}$ ist. Aber noch nicht davon, dass wirklich jeder Punkt auf dem Kreisrand auch enthalten ist.

Edit: Wobei ich dazusagen sollte, dass du das auf der Abgabe schon etwas besser niederschreiben solltest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

09.01.2011, 13:51

Holger124

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Folgt ebenfalls leicht denn wenn $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein Vektor ist mit Norm eins gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2 + y^2} = 1 \end{eqnarray*}$ insbesondere muss dann auch $\begin{eqnarray*} x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ liegen und selbiges gilt für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Also sind x und y Häufungspunkte von $\begin{eqnarray*} (\vec{cos(x), sin(y)}) \end{eqnarray*}$ und somit liegen diese in $\begin{eqnarray*} \omega(x(\cdot)) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zufrieden? Ist zwar etwas argumentativ, aber wir sollen es eh nicht explitzi mit epsilon beweisen.

09.01.2011, 14:22

Airblader

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Die interessante Frage ist ja eigentlich, warum jeder Punkt auf dem Kreisrand ein Häufungspunkt ist.

Dazu kann man wissen, dass (cos(t), sin(t)) diesen Kreisrand parametrisiert. Wenn man jetzt bedenkt, dass Sinus und Kosinus periodisch sind, so ist es ein leichtes, eine Folge zu konstruieren, so dass die Werte konstant bleiben. Damit ist dann klar, dass man jeden Punkt auf dem Einheitskreis damit erreichen kann (grob formuliert).

air

09.01.2011, 14:43

Holger124

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Naja hast gesehen wozu die Jets im Stande sind. Haha. Jetzt machen wir als nächstes die Patriots platt... ;-) Denk an meine Worte wenn wir dann den Superbowl gewinnen.

Viele Grüße und danke für die Hilfe.

09.01.2011, 16:02

Airblader

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Ja, ihr habt auch mit einem Punkt zum Sieg gerettet. Gegen die Pats dürft ihr ruhig gewinnen, dann haben wir die Ehre euch zu zerstören. smile

smile

Gern geschehen und viel Spaß beim Super Bowl Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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