einfacher Beweis Vektorraum

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Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »
einfacher Beweis Vektorraum
Sei ein VR über dem (kommutativen) Körper .

Bewiesen werden sollen:

1.)

Und:

2.)

1. würde ich so beweisen:

Es gilt:

Also:

""

Zu zeigen:

Ist das nicht trivial? Ich würde das so schon als bewiesen ansehen. Wenn beide Faktoren bei einer skalaren Multiplikation mit einem Vektor ungleich 0 sind, kann auch das Produkt nicht 0 sein. Oder kann man das noch weiter beweisen (alleine anhand der Definition eines Vektorraums mit den Vektorraumaxiomen)? Als Tipp ist nämlich noch gegeben, dass man sich das Axiom zunutze machen kann für den Beweis.

""



Das sehe ich genau so als trivial an. Wenn ein Produkt ungleich 0 ist, können auch beide Faktoren nicht 0 sein.

2. würde ich so beweisen:

Es gilt

Sei und









Und mit folgt eben:




Dann würde ich noch gerne wissen, ob es auch sowas wie nichtkommutative Körper gibt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Deine Beweise sind noch nicht so schön überzeugend wie sie sein sollten, da musst du noch mehr mit logischen Schlüssen auf den Axiomen aufbauen.
2. Nichtkommutative Körper nennt man auch Schiefkörper, sowas gibt es.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einfacher Beweis Vektorraum
Zitat:


Und mit folgt eben:



Kannst du das erläutern? Ich sehe nicht, wie du das da angewendet haben willst. Immerhin steht da (-1)*a und nicht 1*a. Wo setzt du das ein? Im Übrigen solltest du hier bessere Klammern setzen. (-1)*a und -(1*a) sind erstmal verschiedene Dinge.

Zum ersten "Beweis" hat Elvis ja was gesagt. Ich würde mich allerdings hüten, bisher überhaupt von einem Beweis zu sprechen .. wirklich getan hast du ja nichts. Augenzwinkern

air
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir mal erst bei 1 (bei 2. habe ich mich tatsächlich vertan und (-1)a mit -(1a) gleichgesetzt.

Wenn ich zeigen soll, dass , dann erscheint mir diese Aussage einfach als trivial. Was kann man da denn noch groß beweisen? Lambda ist nicht 0, der Vektor ist nicht null, dann kann das Produkt auch nicht 0 sein. verwirrt

Vielleicht noch folgende Idee: Es gilt ja . Wenn ich nun beide Seiten mit multipliziere (hier stellt sich mir selber erstmal die Frage, warum ich das überhaupt darf), dann habe ich: bzw. . Wenn ich jetzt sage: Seien , dann ... ja, ähm, dann komm ich auch nicht weiter. Hammer

Irgendwelche heißen Tipps?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt algebraische Strukturen, in denen solche Eigenschaften nicht mehr gelten. So trivial ist es also nicht. Augenzwinkern

Angenommen es ist , aber . Für gibt es in einem Körper ein multiplikatives Inverses. Kommst du damit weiter?

Du solltest wirklich jeden Schritt begründen. Warum gibt es etwas? Warum ergibt ein Produkt zweier Elemente dieses oder jenes? Immer gucken, welches Axiom dir das erlaubt.

air
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch's mal, aber weit komme ich nicht.

Sei und .

Körper. Also gibt's ein multiplikatives Inverses, das da heißt und es gilt:

.

Ich sehe nur leider überhaupt nicht, wohin mich das führen soll. Was ist denn überhaupt zu zeigen, wenn du voraussetzt? Dass dann sein muss? Willst du also danach noch annehmen, dass ist und zeigen, dass dann folgen muss und anschließend zusammenfassen, dass gilt ? Ist das die Idee?

Ich könnte umformen zu und das einsetzen in , also . Hätte mich aber auch nicht groß weitergebracht. Das wäre doch der gleiche Ausdruck, der schon in der 2. Zeile dieses Postings vorausgesetzt wird.
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee hast du richtig erkannt. Freude

Habt ihr das Inverse wirklich mit bezeichnet? Normalerweise nennt man sowas eher .
Alles, was du brauchst, hast du eigentlich schon erwähnt .. nämlich:

.

Multipliziere an einfach mal von links dieses Inverse heran und nutze die o.g. Eigenschaft. Dann brauchst du noch das Axiom, wie das Nullelement auf der rechten Seite damit operiert und zu guter letzt das in der Aufgabe vorgeschlagene .

air
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Neutrales Element:



Inverses Element:



Außerdem gilt:



Daraus folgt (Inverses Element "ranmultipliziert"):



Also:



Jetzt müsste ich nur noch ein Axiom finden, dass mir sagt, dass ist, stimmt's?

Ich finde aber kein Axiom, das mir darüber Informationen gibt. Alles was ich habe, zähle ich mal auf:

abelsche Gruppe. (Hilft mir nicht weiter, gibt nur Informationen darüber, was mit Elementen aus V mit der Verknüpfung + geschieht.)

Körper. (Hilft mir nicht weiter, gibt nur Informationen darüber, was mit Skalaren mit der Verknüpfung "plus" und "mal" geschieht.)

Dann gilt noch die Abbildungen für Skalarmultiplikation im Vektorraum

(Hilft nicht weiter, sagt nur, dass Produkt aus Skalar u. Vektor ein Vektor ist, aber nicht, was mit dem Nullvektor ist)

Und dann noch:






Sagt auch nichts über die Multiplikation mit dem Nullvektor. Was übersehe ich jetzt schon wieder? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da kannst du mal sehen, wie wenig trivial das Triviale ist. Axiome enthalten nie das was man braucht, das wär doch zu billig. Ich geb dir einen Tipp, wie 1. in der einen Richtung funktioniert. So ähnlich geht das in der Aufgabe weiter, nicht trivial.

Sei
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Da kannst du mal sehen, wie wenig trivial das Triviale ist.


Ja, ich muss noch viel lernen. Big Laugh

Zitat:
Original von Elvis

Sei


Woher kommt die ganz rechts?

ist klar.
ist klar.
Dann ist auch ist klar.
ist klar.
, also kann man jetzt schreiben: ist klar.
Mit folgt daraus dann: ist klar. Und wieso ist das jetzt gleich 0?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dafür brauchen wir schon wieder die andere Richtung. Die ist nicht trivial, aber einfach.
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

"Andere Richtung"? Jetzt bin ich völlig verwirrt. Um "" zu beweisen, brauche ich erst "" oder wie?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist das im Leben. Kann man doch nie wissen, wie und wo man anfangen muss. Das ergibt sich eben beim Arbeiten. Für mich war das selbstverständlich, dass ist. Du musst es erst zeigen, das gehört zur Aufgabe, also fängst du eben damit an und bringst anschließend meinen Beweis.
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das mal jemand auflösen könnte, wäre ich dankbar (ist auch keine Hausaufgabe, versprochen, ich studiere Ingenieurswissenschaften, will mich mich aber nebenbei mit tiefergehender Mathematik beschäftigen, also mit Beweisen und habe mit Linearer Algebra angefangen, verzweifle aber schon an der ersten Aufgabe aus meinem Buch). Alleine werde ich's einfach nicht hinbekommen. Hier ist mein letzter Versuch mit einer etwas anderen Herangehensweis als hier im Thread bisher empfohlen.

Die Aufgabe nochmal: V ist ein Vektorraum über K. ist zu beweisen.

Jetzt habe ich mir gedacht, "" könnte ich vielleicht auch so beweisen, dass ich annehme:

Voraussetzung: Gelte . Zu zeigen: . Angenommen, es gilt aber doch . Dann müsste ich irgendwo auf einen Widerspruch stoßen. Ich versuch's also mit einem Widerspruchsbeweis.

Wenn V ein VR über K ist, dann gilt auch, dass eine kommutative Gruppe ist.

Also gilt auch : (-a additives Inverses)
Und: (0 additives neutrales Element)

Letzteres gilt aber für ALLE , also auch für . Damit hätte ich doch gezeigt, dass gar nicht sein darf, oder? Und wenn bereits nicht gilt, kann doch auch nicht gelten. Also . Und das ist eben . Geht das so? Tränen
Gast0815 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nerve vielleicht, aber solange ich die Lösung nicht weiß, werde ich nicht mehr friedlich schlafen können. Big Laugh
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