NIM Rätsel

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NIM Rätsel
Meine Frage:
Hi, studiere Mathe L2 und habe eine Aufgabe vor mir, bei der ich absolut nicht weiterkomme, bzw. nur vom logischen denken weiterkomme, aber keinen mathematischen Beweis zu finde:

(1) Wir haben einen langen Streifen von aneinanderhängenden Kästchen (etwa aus
kariertem Papier ausgeschnitten). Irgendwo etwa in der Mitte ist eines der Kästchen
rot gefärbt. Wir schneiden abwechselnd, links oder rechts (wie man will) von diesem
Kästchen einen Teilstreifen ab. Wer am Schluss das rote Kästchen übrig behält, hat
verloren.
Wie viele Kästchen schneiden Sie auf welcher Seite ab, wenn der Streifen so aussieht?
Wie ist Ihre Strategie?


Zur Erklärung des Bildes:

Es besteht aus insgesamt 6 Kästchen, die Anordnung ist folgende:
zuerst links 3 weiße Kästchen, dann das rote und dann wieder zwei weiße


Bei dieser Aufgabe habe ich auch bereits eine Idee, wenn ich beginne schneide ich zuerst auf der linken seite ein Kästchen ab und richte mich dann mit dem abschneiden danach, wieviel mein Gegenspieler abschneidet, da ja nur rechts oder links ein Kästchen abgeschnitten werden darf. Dadurch das ich auf der Seite beginne, auf der sich mehrere Kästchen befinden sollte mein Gegenspieler dadurch das Spiel verlieren




(2) Wir haben ein rechteckiges Feld von aneinanderhängenden Kästchen (etwa aus
kariertem Papier ausgeschnitten). Das Kästchen links unten ist rot gefärbt. Wir
schneiden abwechselnd links oder rechts von diesem Rechteck einen Teilstreifen, also
ein Rechteck, das über die gesamte Breite oder Länge reicht, ab ? so dass das rote
Kästchen nicht mit abgeschnitten wird, und wieder ein Rechteck entsteht. Wer am
Schluss das rote Kästchen übrig behält, hat verloren.
Wie viel schneiden Sie senkrecht oder waagerecht ab, wenn das Rechteck so aussieht?
Wie ist Ihre Strategie?


Auch hier wieder eine Erklärung des Bildes:
links unten befindet sich das rote Kästchen. Die Höhe des Rechtecks ist 4 kästchen, die Breite 6 Kästchen.

Auch hier habe ich wieder eine Idee, weiß jedoch nicht ob diese mathematisch korrekt ist:
Meiner Meinung nach kann man nacheinander insgesamt 8 mal abschneiden, mit welchem Streifen man dabei beginnt ist in diesem Fall egal. Da ich immer lediglich einen Streifen senkrecht oder waagrecht abschneiden darf kann ich das Spiel nur gewinnen, wenn mein Gegenspieler beginnt, da in dieser Kombination 8 mal Streifen abgeschnitten werden können.


(3) Wir haben ein rechteckiges Feld von aneinanderhängenden Kästchen (etwa aus
kariertem Papier ausgeschnitten). Eines der Kästchen ist rot gefärbt. Wir schneiden
abwechselnd links oder rechts oder oben oder unten von diesem Rechteck einen
Teilstreifen, also ein Rechteck, das über die gesamte Breite oder Länge reicht, ab ? so
dass das rote Kästchen nicht mit abgeschnitten wird, und wieder ein Rechteck entsteht.
Wer am Schluss das rote Kästchen übrig behält, hat verloren.
Wie viel schneiden Sie senkrecht oder waagerecht ab, wenn das Rechteck so aussieht?
Wie ist Ihre Strategie?

Zur Beschreibung des gegebenen Bildes:
Das Rechteck hat wieder die Höhe von 4 Kästchen, und die Breite von 6 Kästchen. Das rote Kästchen befindet sich an der Position 2. Reihe von unten, das 3. Kästchen von links.

Auch hierbei gibt es meiner Möglichkeit nach nur die Möglichkeit zu gewinnen, wenn mein Gegenspieler mit dem Spiel beginnt. Auch hier können wenn ich auf dem richtigen Weg bin genau 8 mal Streifen abgeschnitten werden bis nur noch der rote Punkt übrig bleibt, auch hier ist die Kombination meiner Meinung nach wieder unerheblich.


So und nun komme ich zu den Aufgaben wo ich gar keine Ahnung mehr habe:


(4) Wir haben einen Quader von aneinanderhängenden Einheits-Würfelchen im
räumlichen Gitter, etwa gegeben durch die (ganzzahligen) Koordinaten der acht
Eckpunkte. Eines der Würfelchen ist rot gefärbt. Wir schneiden abwechselnd links
oder rechts oder oben oder unten oder vorne oder hinten von diesem Quader längs
einer Fläche x = k oder y = k oder z = k ein Stück ab ? so dass das rote Kästchen nicht
mit abgeschnitten wird, und wieder ein Quader entsteht. Wer am Schluss das rote
Würfelchen übrig behält, hat verloren.
Wie viel schneiden Sie wo ab, wenn der Quader von den Flächen x = 3, x = -2, y = 5,
y = -4, z = 8 und z = -8 begrenzt wird, und das rote Würfelchen zwischen (0|0|0) und
(1|1|1) liegt? Wie ist Ihre Strategie?



WEGE IM ZAHLENGITTER ZÄHLEN


(5) Wie viele verschiedene Wege von der linken vorderen unteren Ecke (-2 | 5 | -8 ) zur
rechten hinteren oberen Ecke (3 | -4 | 8 ) gibt es, die nur auf Gitterlinien entlanglaufen,
immer nur bei jedem Schritt einen Schritt nach rechts, hinten oder oben machen?


(6) Nehmen wir an, wir würden rein zufällig einen Weg beschreiten. Wie wahrscheinlich
ist es, dass dieser Weg nicht über eine Ecke des roten Würfelchens führt?



Ich hoffe ihr könnt mir bei der Lösung der Aufgaben helfen und mir sagen ob ich bei den ersten drei Aufgaben richtig liege oder total falsch liege. Bin nämlich langsam am verzweifeln mit den Aufgaben ...



Grüße


Meine Ideen:
Ideen habe ich ja bereits oben unter den Aufgabenstellungen gepostet, zu den letzten 3 Aufgaben fehlt mir leider jegliche Idee
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