Zusammenhang Fixpunkt- Nullstelle - Banachscher Fixpunktsatz- Newton

07.01.2011, 18:27	Willi712	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Fixpunkt- Nullstelle - Banachscher Fixpunktsatz- Newton Hallo, ich habe eine Frage zu Fixpunkt, Nullstelle und Banachscherm Fixpunktsatz. Ich verstehe, dass man eine Nullstelle bekommt durch f(x)=0 und den Fixpunkt durch f(x)=x (Winkelhalbierende). Man kann ja dann das Nullstellenproblem in ein Fixpunktproblem überführen, indem man aus f(x)+x=x bzw. aus g(x)=f(x)+x macht. Wenn man in diese Funktion g(x) Zahlen einsetzt und das Ergebnis dann immer wieder einsetzt, konvergiert oder divergiert die Funktion. Aber was hat das Ganze dann mit einer Nullstelle zu tun? Wie gehört der Banachsche Fixpunktsatz dazu und wann kommt das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung ins Spiel? Danke Willi712
08.01.2011, 09:35	Willi712	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Fixpunkt- Nullstelle - Banachscher Fixpunktsatz- Newton mir würde es auch schon genügen, wenn mir jemand den zusammenhang zwischen nullstelle und fixpunkt erläutern könnte. ich verstehe nämlich nicht, was der schnittpunkt mit der winkelhalbierenden mit dem schnittpunkt der x-achse zu tun hat.
08.01.2011, 10:44	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast alles schon gesagt. Angenommen du willst eine Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ finden. Dann kannst du aus dem Nullstellenproblem ein Fixpunktproblem machen: Nehme eine neue Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} g(x):=f(x)+x \end{eqnarray}$ . Hat man einen Fixpunkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ gefunden, dann gilt also $\begin{eqnarray} g(p)=p \end{eqnarray}$ und wegen der Definition von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} f(p)=0 \end{eqnarray}$ . Bis hierhin was die Theorie. Nun numerisch musst du eine Iterationsvorschrift bauen [was eine Folge liefert] und hoffen dass diese gegen den Fixpunkt konvergiert. Eine Möglichkeit eine Vorschrift zu bauen ist durch das Newtonverfahren gegeben [sicherlich nicht die Einzige Möglichkeit, aber eine sehr gute Wahl]. Mit dem Fixpunktsatz beweist man dann den zugehörigen Satz der etwas über die Konvergenz dieser Iterationsfolge aussagt.

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