Komplexe Zahlen Dreieck

07.01.2011, 19:09

El Rey

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Komplexe Zahlen Dreieck

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

Augenzwinkern

folgende aufgabe bringt mich langsam zum verzweifeln

gegeben sind 2 komplexe zahlen z1 und z2. diese haben folgende werte

z1 = -2 -2i
z2 = 1 + 2i

gesucht ist z3 wobei auch z3 in den komplexen zahlen liegen soll. alle punkte zusammen sollen ein gleichseitiges dreieck ergeben!

hört sich verständlich an Big Laugh

Big Laugh

Meine Ideen:
ich weis das der abstand zwischen z1 und z2 genau 5 beträgt. dann habe ich erst versucht folgende gleichungen zu benutzen und nach den variablen umzuformen aber da kommt man immer auf endlosbrüche

|z3 - z2| = 5 und |z3 - z1| = 5

=> |z3 - z2|=|z3 - z1| wobei ich erstmal z3 so gesetzt habe z3 = x+ iy

bitte schneele hilfeeeeeeee!!!!!!!! Big Laugh

Big Laugh

07.01.2011, 19:17

Elvis

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Zeichnen in der komplexen Ebene zeigt sofort, dass der Abstand (nach Pythagoras) = 5 ist. Zwei Kreise um z1 und z2 mit Radius 5 sollten sich dann freundlicherweise in den beiden gesuchten Lösungen schneiden.

07.01.2011, 19:26

El Rey

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oki das is schonmal gut aber wie kann man das aufschreiben ??
wie finde ich da den punkt ??

07.01.2011, 19:31

Elvis

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Mit dem Zirkel ... oder mit Gleichungen der analytischen Geometrie . $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

07.01.2011, 19:37

El Rey

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naja wir sollen das nicht zeichnerisch machen

und wie soll ich aus der gleichung die du mir angegeben hast die koordinaten ermitteln ??

07.01.2011, 19:47

Elvis

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Die Mittelpunkte z1 und z2 und die Radien r=5 kennst du, damit lassen sich die Schnittpunkte der Kreise berechnen.
Alternativ kannst du auch einen Kreis mit der Mittelsenkrechte $\begin{eqnarray*} \overline {z_1z_2} \end{eqnarray*}$ schneiden, die bekommst du durch quadrieren von $\begin{eqnarray*} |z_3-z_2|=|z_3-z_1| \end{eqnarray*}$ .

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07.01.2011, 22:39

El Rey

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wenn man das mir dieser gleichung macht dann kommt man hinterher auf einen endlosbruch
also ich zumindest

das mit der mittelsenkrechte hört sich gut an
kannste mir das vllt genauer erklärn ??

08.01.2011, 09:35

Leopold

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Eine Alternative. Das Verhältnis von Höhe und Seite im gleichseitigen Dreieck ist bekannt (Pythagoras). Man muß daher nur an den Mittelpunkt der Strecke von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ den entsprechend gestreckten und in beide Richtungen um 90° gedrehten Vektor $\begin{eqnarray*} z_1 - z_2 \end{eqnarray*}$ anheften. Die Drehung wird durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \pm \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ bewirkt.

Man kann daraus eine allgemeine Beziehung herleiten: Bilden die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ in der Gaußschen Zahlenebene ein gleichseitiges Dreieck, dann besteht die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 \end{eqnarray*}$

Den dritten Punkt kann man daher auch durch Lösen einer quadratischen Gleichung erhalten.

08.01.2011, 12:33

El Rey

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also wenn ich das jez richtig verstehe dann soll ich deine gleichung einfach nach c auflösen ??

aber wie soll ich das mit den komplexen zahlen machen weil das sind ja 2 komponenten ??

08.01.2011, 13:22

Leopold

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Ich würde vorschlagen, du wählst die elementargeometrische Methode. Das Folgende war nur ein Hinweis von mir zum Weiterarbeiten. In eine fertige Formel einsetzen bringt es ja nicht.

i) Wie groß ist der Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , der das Verhältnis von Höhe und Seite im gleichseitigen Dreieck beschreibt?

ii) Welches ist die Mitte $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ?

iii) Verstehst du, warum man $\begin{eqnarray*} z_1 - z_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pm \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ multiplizieren muß?

Kannst du damit schließlich eine fertige Formel für das gesuchte $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ angeben?

08.01.2011, 13:28

El Rey

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ehrlich gesagt bin ich grad etwas verwirrt

verwirrt

wo kommt den auf einmal das lamda her ??

und der mittelpunkt müsste ja eingentlich auf der hälft von dem abstand zwischen z1 und z2 liegen

aber warum soll man z1-z2 mit i multiplizieren ??

das leuchtet mir irgendwie nich ein Hammer

Hammer

08.01.2011, 13:51

Leopold

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Das habe ich mir fast gedacht. Gehen wir schrittweise vor.

1.
Es sei $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck mit der Kantenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Berechne im halbierten Dreieck mit dem Satz des Pythagoras das Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{h}{a} \end{eqnarray*}$

Das ist eine bekannte reelle Zahl.

2.
Komplexe Zahlen können bezüglich Addition und Subtraktion wie Vektoren des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ aufgefaßt werden. Die Multiplikation mit einer reellen Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ funktioniert wie die skalare Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .
Ferner kannst du eine komplexe Zahl mit ihrem Ortsvektor identifizieren. Du kannst sie also, ganz wie du es gerade brauchst, als Punkt selbst oder als Ortsvektor eines Punktes ansehen.

i) Wie bestimmt man den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zweier Punkte $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ ?
Das kennst du sicher aus der Schulgeometrie.

ii) $\begin{eqnarray*} z_1 - z_2 \end{eqnarray*}$ ist der Verbindungsvektor von $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ . Das kennst du aus der Oberstufe der Schule.
Wenn du diesen Vektor um 90° drehst und an $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ansetzt, zeigt er dir in Richtung auf das gesuchte $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ . Du mußt ihm jetzt nur noch die richtige Länge geben. Und die wird durch den Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ festgelegt.

3.
Alles Bisherige hat so gut wie nichts mit komplexen Zahlen zu tun. Es ist nur die Schreibweise: Statt einem Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ schreibt man eine komplexe Zahl.
Jetzt kommt aber Entscheidendes hinzu. Denn wenn man eine komplexe Zahl mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ multipliziert, wird sie um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Den gedrehten Vektor aus 2. ii) erhältst du also durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Und für die Drehung im Uhrzeigersinn braucht es noch einen Vorzeichenwechsel.

08.01.2011, 14:49

El Rey

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oki ich versuchs mal so danke erstmal
kann aber sein das ich nochmal dumm nachfragen muss Big Laugh

Big Laugh

08.01.2011, 15:00

Leopold

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Besser dumm gefragt als dumm geblieben. smile

smile

08.01.2011, 15:12

corvus

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Zitat:

Original von Leopold
Besser dumm gefragt als dumm geblieben. smile

smile

und nur so nebenbei:
diese Aufgabe ist (dummerweise unter anderem Namen)
auch schon da :
Rechnen mit komplexen Zahlen

.

08.01.2011, 15:15

El Rey

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muss man dann bei (ii) das komplex konjugierte von |z1 - z2| bilden ??

08.01.2011, 15:30

El Rey

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das klappt bei mir i-wie nich
da kommt ja dann wieder 5 raus geschockt

geschockt

08.01.2011, 15:31

El Rey

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ich hab bis jez m = 1/2
und z1 - z2 im betrag und komplex konjuguiert = 5

aber ich glaub das is nich richtig

08.01.2011, 18:44

Leopold

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