Prädikatenlogik

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Thalon Auf diesen Beitrag antworten »
Prädikatenlogik
Meine Frage:
Hallo, kann mir jemand erklären warum die folgende Formel keine Tautologie ist:



Meine Ideen:
Ich denke mal die Antwort würde ich finden wenn ich den Unterschied zwischen dem 1. und dem 2. Klammerausdruck rausbekommen würde.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Prädikatenlogik
Angenommen, y steht für Haus, x steht für Person und Q(x, y) steht für x wohnt in y. Dann bedeutet die vordere Aussage:

Zu jedem Haus gibt es eine Person, die darin wohnt.

Die hintere Aussage bedeutet:

Es gibt eine Person, die in jedem Haus wohnt.

Offensichtlich ist die hintere Aussage keine allgemeingültige Folgerung aus der vorderen Aussage.
Thalon Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, das leuchtet mir jetzt ein. Aber ich würde dazu gerne nochmal 2 Beispiele anführen, damit ich sehe ob ichs halbwegs verstanden habe:



Das müsste doch eine Kontradiktion sein, weil (P und nicht P) immer falsch ergibt oder?
Trotzdem hätte ich hier noch zwei Fragen, welche Bedeutung hat die freie Variable z und was für einen Unterschied macht in diesem Falle die Verschiebung (x,y,z) nach (y,x,z)?




Diese Bedingung ist auf jeden Fall erfüllbar, zum einen wegen dem ODER zum anderen weil die Negation von ist. Die Erfüllbarkeit hängt jedoch von der richtigen Belegung der freien Variablen ab, richtig? Und wenn ja, wie muss diese dann aussehen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thalon


Das müsste doch eine Kontradiktion sein, weil (P und nicht P) immer falsch ergibt oder?
Trotzdem hätte ich hier noch zwei Fragen, welche Bedeutung hat die freie Variable z und was für einen Unterschied macht in diesem Falle die Verschiebung (x,y,z) nach (y,x,z)?

Die Aussagen

und

sind nicht unbedingt identisch. Das hängt von dem Prädikat P ab. Sind z. B. x, y und z Zahlen und soll bedeuten, x liegt zwischen y und z, ist das nicht der Fall. ist richtig, aber ist falsch Deshalb ist auch nicht die Negation von , jedenfalls nicht generell. Es ist die Negation von . Und deshalb ist der Ausdruck keine Kontradiktion.

Die freie Variable z ist ein bestimmtes Individuum aus dem Individuenbereich.


Zitat:


Diese Bedingung ist auf jeden Fall erfüllbar, zum einen wegen dem ODER zum anderen weil die Negation von ist. Die Erfüllbarkeit hängt jedoch von der richtigen Belegung der freien Variablen ab, richtig? Und wenn ja, wie muss diese dann aussehen?


Es gibt zwei Arten von Erfüllbarkeit.

(1) Die Erfüllbarkeit schlechthin.

Sie ist gegeben, wenn es überhaupt einen Individuenbereich gibt, in dem die Aussage erfüllbar. Das ist gegeben, weil die Aussage keine Kontradiktion ist.

(2) Die Erfüllbarkeit in einem bestimmten Individuenbereich.

Wenn man mal von dem leeren Individuenbereich absieht, erscheint mir die Aussage in jedem Individuenbereich erfüllbar. Das liegt daran, dass die Teilaussagen mit den ungebundenen Variablen immer erfüllber sind, wenn die davor stehende Aussage mit gebundener Variable richtig ist. Und eine der Teilaussagen mit gebundener Variablen ist immer richtig, weil diese Negationen voneinander sind.
Thalon Auf diesen Beitrag antworten »

Also Bedeutet das, dass die erste Formel erfüllbar ist, aber nicht Allgemeingültig? Und nur zum Verständnis, meinst du mit die Belegung so dass sich der Inhalt von P geändert hat, also: y liegt zwischen x und z? Bin nämlich gerade ein bisschen verwirrt Big Laugh

Und bei der zweiten Formel wenn du sagts "erscheint mir die Aussage in jedem Individuenbereich erfüllbar" meinst du dann dass es sich um eine Tautologie handelt? Weil du sagtest, dass die Teilaussagen erfüllbar sind, wenn die "Aussage mit gebundener Variable richtig ist" und das ist ja immer eine von beiden (weil sie "Negationen voneinander sind"). Dass Bedeutet doch aber nur dass sie Erfüllbar sind, weil ja z.B. auch falsch sein kann? Wie gesagt ich bin verwirrt, klär mich bitte auf smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thalon
Also Bedeutet das, dass die erste Formel erfüllbar ist, aber nicht Allgemeingültig?

Sie ist nicht allgemeingültig.
Sie ist schlechthin erfüllbar, weil sie keine Kontradiktion ist. Man kann Prädikate P und Individuenbereiche angeben, in denen sie erfüllbar ist.
Sie ist nicht für jedes Prädikat und jeden Individuenbereich erfüllbar, sonst wäre sie ja allgemeingültig.

Zitat:
Und nur zum Verständnis, meinst du mit die Belegung so dass sich der Inhalt von P geändert hat, also: y liegt zwischen x und z? Bin nämlich gerade ein bisschen verwirrt Big Laugh

Mir ist nicht klar, was dir nicht klar ist. In dem Beispiel bedeutet x liegt zwischen y und z. bedeutet y liegt zwischen x und z. Also bedeutet 5 liegt zwischen 3 und 7, was richtig ist. bedeutet 3 liegt zwischen 5 und 7, was falsch ist. Was verstehst du daran nicht?
Ein mehrstelliges Prädikat ist keine Menge. Im allgemeinen spielt die Reihenfolge der Argumente im Prädikat für die Aussage eine Rolle.

Zitat:
Und bei der zweiten Formel wenn du sagts "erscheint mir die Aussage in jedem Individuenbereich erfüllbar" meinst du dann dass es sich um eine Tautologie handelt?

Ich bin mir nicht sicher, ob man in der Prädikatenlogik von einer Tautologie fordert, dass sie auch für einen leeren Individuenbereich gültig ist. Falls ja, ist es keine Tautologie. Falls nein, ist es eine Tautologie.

Zitat:
Weil du sagtest, dass die Teilaussagen erfüllbar sind, wenn die "Aussage mit gebundener Variable richtig ist" und das ist ja immer eine von beiden (weil sie "Negationen voneinander sind"). Dass Bedeutet doch aber nur dass sie Erfüllbar sind, weil ja z.B. auch falsch sein kann? Wie gesagt ich bin verwirrt, klär mich bitte auf smile

Nehmen wir die vordere Aussage:

Wenn richtig ist, so ist erfüllbar (nicht leerer Individuenbereich vorausgesetzt). Ich kann ja für y jedes beliebige Inviduum einsetzen, weil die Aussage ja für alle Individuen gilt.

Nehmen wir die hintere Aussage:

Wenn richtig ist, ist erfüllbar. Man muss ja nur für y das existierende x einsetzen.
 
 
Thalon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was verstehst du daran nicht?


Jaja ich bin manchmal schwer von kp. Solche Sachen verwirren mich halt einfach manchmal. Hammer
Na ja jedenfalls wars das was ich wissen wollte. So denke mal habs jetzt auch endlich begriffen Freude

Viele Dank lieber Mathegott Gott
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