Verschoben! Weierstraß (Gamma-Funktion)

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07.01.2011, 22:50	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Weierstraß (Gamma-Funktion) Hallo! Ich soll die Produktdarstellung der komplexen Gammafunktion von Weierstraß beweisen. Habe dazu zuvor die Existenz des Grenzwertes von $\begin{eqnarray} \gamma=lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-log(N) \end{eqnarray}$ bewiesen. Wenn ich nun Gamma(1)=1 in der Produktdarstellung überprüfen will, komme ich auf die Gleichung $\begin{eqnarray} \gamma-lim_{N\to \infty} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-log(N+1)=0 \end{eqnarray}$ Ist denn nun dieser Limes wieder gleich $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ? Nur so würde die Gleichung erfüllt und die Produktdarstellung diese Eigenschaft der Gamma-Funktion erfüllen.
07.01.2011, 23:02	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es ist sogar $\begin{eqnarray} \lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \ln(N+k) = \gamma \end{eqnarray}$ für alle ganzen k. Dies sieht man ein, indem man eine geeignete Nullfolge addiert. In deinem Fall z.b. $\begin{eqnarray} \frac{1}{N+1} \end{eqnarray}$
07.01.2011, 23:08	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Jep, das das habe ich auch hingeschrieben. Hatte nur ein ungutes Gefühl dabei...wusste aber nicht woher das kam. Aber jetzt ist alles ok. Danke! Wieso wurde eigentlich das Thema "verschoben"? Verschoben wurde ja eigentlich nichts...ist immer noch in "Analysis", wo ich es auch gepostet habe. lg freedom
07.01.2011, 23:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hattest in der Schulmathematik geposted. Mit solchen Stoff werden Schüler noch nicht gequält
07.01.2011, 23:22	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »

08.01.2011, 00:43	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nochmal eine Frage zu dem Thema. Wie zeige ich am Besten, dass die Produktdarstellung Gamma(z+1)=zGamma(z) erfüllt? Ich habe einfach mal begonnen, die Produktdarstellung in die Gleichung einzusetzen um zu schauen, ob diese erfüllt wird. Nun komme ich auf eine Gleichung, die nicht erfüllt ist. Rechenschritte sind sauber. Vielleicht darf ich nur nicht so leichtfertig mit den Grenzwerten umgehen. Jedenfalls erhalte ich die folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} 1-log(z+1)-\lim_{N\to \infty}\left(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}+log(z+n+1)\right)=0 \end{eqnarray*}$ Wolfram Alpha sagt mir, dass das nicht ganz stimmt. Kann ich denn nicht einfach naiv so vorgehen wie oben beschrieben? Über einen Gedankenanstoß würde ich mich freuen.
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08.01.2011, 09:39	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe doch noch einen kleinen Fehler gefunden, was aber nicht die Reihe betrifft: $\begin{eqnarray} 1-log(z+1)... \end{eqnarray}$ ist eigentlich $\begin{eqnarray} -\gamma-log(z+1) \end{eqnarray}$ In der obigen Schreibweise stimmt was nicht. Im log in der Summe muss ein "N" stehen. Es sieht dann ja schon fast so aus, dass es klappen könnte, wenn der log in der Summe nicht so eine blöde Gestalt annehmen würde. Ich schaue noch einmal genau drüber. Ansonsten bitte Hilfe posten.
08.01.2011, 09:46	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange Du nichts genaueres zu Deinen Rechenschritten verrätst, lässt sich natürlich nur vermuten wie Du zu dieser Gleichung kommst. Es liegt allerdings der Verdacht nahe, dass ein unsachgemäßer Umgang mit Grenzprozessen (Grenzwertsätze!) ursächlich ist für das falsche Ergebnis - wie Du selbst, in weiser Vorahnung, es schon vermutet hast.
08.01.2011, 10:30	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wie gewünscht hier die ersten Schritte zum Beweis, dass die Weierstraß'sche Produktdarstellung der Gamma-Funktion die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} \Gamma(z+1)=z\cdot \Gamma(z) \end{eqnarray}$ erfüllt. $\begin{eqnarray} <br /> \frac{e^{-\gamma(z+1)}}{z+1}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z+1}{n}\right)^{-1}e^{\frac{z+1}{n}}=z\frac{e^{-\gamma(z)}}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{\frac{z}{n}}<br /> \end{eqnarray}$ Nun z und e-Funktion kürzen und logarithmieren liefert mir dann: $\begin{eqnarray} <br /> -\gamma -log(z+1) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z+1}{n}-log\left(1+\frac{z+1}{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z}{n}-log\left(1+\frac{z}{n}\right)<br /> \end{eqnarray}$ So, nun bringe ich alles auf eine Seite und mache aus den beiden Reihen eine und fasse die Summanden zusammen. Dann schreibe ich die unendliche Reihe als limes der Partialsummen und bemerke, dass, wenn man mit den Rechenregeln des log zusammenfasst, der log in der Summe eine Teleskopsumme bildet und komme dann auf: $\begin{eqnarray} -\gamma -log(z+1) + \lim_{N\to \infty}\left(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} -log(z+1+N) \right)=0 \end{eqnarray}$
08.01.2011, 16:11	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Up.
08.01.2011, 21:05	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} UP^2 \end{eqnarray}$ Sorry, will nicht nerven, aber ist eben dringend und habe mir schon ziemlich lange mit anderen Aufgaben den Kopf zerbrochen...
09.01.2011, 00:36	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Problematisch ist wie schon gesagt Dein Umgang mit den Grenzwerten. Z.B. $\begin{eqnarray} \prod_{n=1}^\infty e^{\frac xn} \end{eqnarray}$ existiert i.A. gar nicht. Wenn Du die Funktionalgleichung der Gammafunktion schon unbedingt an der Weierstraßschen Darstellung zeigen willst - und nicht etwa an der Integraldarstellung oder an der Gaußschen Darstellung, was jeweils etwas bequemer wäre - dann solltest Du etwa zu folgender, der Funktionalgleichung äquivalenten Gleichung gelangen: $\begin{eqnarray} e^{\gamma +x}\prod_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n+1+x}e^{\frac x{n+1}}=\prod_{n=1}^\infty\frac n{n+1+x}e^{\frac{x+1}n} \end{eqnarray}$ Mit der Definition von gamma sollte sich der Rest nun machen lassen - aber auch hier gilt: Vorsicht beim 'Auseinanderziehen' von Grenzwerten!
10.01.2011, 21:26	freedom	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin leider krank geworden und kann erst jetzt antworten. Habe es leider nicht hinbekommen. Habe es nun mit der Zurückführung auf die Integraldarstellung gemacht. Werde meinen Tutor mal fragen, wie ich das auch anders machen kann.

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