Monotonieintervalle Monotonieverhalten

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komplex Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieintervalle Monotonieverhalten
Meine Frage:
Also meine Frage zielt direkt auf Monotonieintervalle ab, die ich noch nicht ganz verstanden habe. Um mir die zu verdeutlichen, hab ich mir schon eine Funtkion ausgesucht, sie lautet:



Nullstellen bei: x1=2, x2=1 ---> Definitionsbereich ausgenommen

(Es wär nett, wenn sie einer plotten könnte!)

Monotonie kann ich folgendermaßen feststellen:



So nun hab ich auch schon die erste Ableitung meiner Funktion gebildet:



und nach auflösen, bin ich auf folgendes Intervall gestoßen:



Was bedeutet das jetzt graphisch, ich hoffe das kann mir einer verdeutlichen und wie stell ich jetzt Monotonieintervalle auf, wie sind diese mit dem Definitonsbreich verknüpft?

b)Extremwert:

So danach komm ich nur noch auf den Extremwert zu sprechen, den ich auch schon ausgerechnet habe und der liegt bei:



Hierzu lautet meine Frage: Wie umgehe ich jetzt die zweite Ableitung und kann die Art der Extremwerte gleich am Monotonieverhalten erkennen? (Bitte auch graphisch erklären!)(wurde in meiner Vorlesung so gemacht!)

Vielen Dank fürs Zeit nehmen im Vorraus schon mal!

Meine Ideen:
Ich hoffe, die bekomme ich mit eurer Hilfe!;-)
komplex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieintervalle Monotonieverhalten
also hab schon mal wieder weiter gemacht und die Extremwerte bestimmt



 
 
komplex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonieintervalle Monotonieverhalten
So ist es richtig herum:

Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Klick mich.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Am einfachsten ist es, wenn du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmst, darüber kannst du dann einfach die Monotonie bestimmen (vorausgesetzt du untersuchst stetig differenzierbare Funktionen, was in der Schule aber eigentlich der Fall ist). Du musst dann nur einen(!) Funktionswert der ersten Ableitung in den jeweiligen Intervallen zwischen den Nullstellen bestimmen, dieser gibt dir dann eine Aussage über die Monotonie in diesem gesamten Intervall.



Also gut, dass ist doch schon mal brauchbar:

Korriegiere mich wenn ich was falsch verstanden habe:



So wenn ich das auf meine Funktion anwende, erhalte ich ja und wie stell ich dann das komplette Intervall auf?

Das ist der einzige Schritt der mir noch unklar ist?
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Ps: Könntest du nur kurz überprüfen, ob die extremwerte stimmen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktonswerte habe ich nicht ausgerechnet, bei liegen aber Extremstellen vor, ja.

Du erhältst mehr als nur eine Nullstelle bei der ersten Ableitung (vgl. Extremwerte, es muss mindestens 2 geben), damit kannst du die Intervalle aufstellen.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt!

1.Nullstelle=

2.Nullstelle=


okay und dann hab ich jetzt schon mal die Nullstellen... okay und wie komm ich jetzt zu den intervallen, ich weiß das sich die Monotonie bei den Extremstellen ändert...

ich bin der meinung:

das Intervall beginnt ja mit aber bis wohin?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Intervall von bis , dafür kannst du die Monotonie bestimmen, was bleibt dann links von übrig, was rechts von ? Damit hast du die restlichen Intervalle.
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polstellen sollten allerdings auch noch berücksichtigt werden.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat, die Polstellen habe ich ganz vergessen, danke für den Hinweis. smile
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

stet links von vielleicht 1?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von komplex
stet links von vielleicht 1?


Was meinst du damit? verwirrt
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die funktion von - bis 1 streng monoton steigend ?
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau,

über ist f(x) monoton steigend,

über ist f(x) sogar streng monoton stigend.


mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

chili12, magst du hier weitermachen? Ich muss gleich weg. smile
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

um es richtig aufzuschreiben:
über ist f(x) monoton steigend,

über ist f(x) sogar streng monoton steigend.
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
chili12, magst du hier weitermachen? Ich muss gleich weg. smile


Ja mache ich.

Zitat:
Original von komplex
um es richtig aufzuschreiben:
über ist f(x) monoton steigend,

über ist f(x) sogar streng monoton steigend.


ahja sry ich hab jeweils das - vergessen.

über ist f(x) monoton steigend,

über ist f(x) sogar streng monoton steigend.

so muss es richtig heissen.

Wie lauten dann die fehlenden Intervalle?

Tip: Bringe -unendl, unendl, alle Nullstellen der ersten Ableitung und alle Polstellen in eine geordnete Zahlenreihe.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

dann sieht das jetzt endgültig so aus



= streng monton steigend

= streng monoton steigend

komplex Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte so:



dann sieht das jetzt endgültig so aus



= streng monton steigend

= streng monoton steigend

chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

eins fehlt noch.

Ausserdem solltest du dir den Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Intervallen anschauen de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29

Wenn du die Intervalle hast musst du eine Zahl aus jedem Intervall picken und die erste Ableitung an der Stelle ermitteln.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »



= streng monton steigend

= streng monoton steigend



Das stimmt mit der ersten Ableitung, jedoch interessiert mich nur strenges wachstum im moment, monotones nicht!

Jedoch interessiert mich brennend welches intervall noch fehlt ? das kann ja dann nur sein:

= streng monton steigend
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Stop fehler!




= streng monton steigend

= streng monoton steigend



Das stimmt mit der ersten Ableitung, jedoch interessiert mich nur strenges wachstum im moment, monotones nicht!

Jedoch interessiert mich brennend welches intervall noch fehlt ? das kann ja dann nur sein:

= streng monton steigend
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Stop fehler!




= streng monton steigend

= streng monoton steigend



Das stimmt mit der ersten Ableitung, jedoch interessiert mich nur strenges wachstum im moment, monotones nicht!

Jedoch interessiert mich brennend welches intervall noch fehlt ? das kann ja dann nur sein:

= streng monton steigend
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied zwischen strenger und einfacher Monotonie ist, dass die Steigung bei strenger Monotonie nicht null werden darf.
Also:

f'(x)>0 für alle x aus dem Intervall, heisst dass die Funktion über dem Intervall streng monoton steigt.

Da die Steigung in den Extremstellen 0 ist dürfen diese also nicht in den Intervallen vorkommen.

-/+Unendich darf generell in keinem Intervall vorkommen. Dort brauchst du also sogenannte offene Intervall-Grenzen.

Zwei Schreibweisen sind dafür üblich (2;2) oder ]2;2[. Diese Intervalle beinhalten alle x für die gilt -2<x<2.

wäre zB falsch.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Also wär die Lösung jetzt, da Extremwerte nicht eingeschlossen werden dürfen:



Intervall streng monoton steigend



Intervall streng monoton steigend
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

dort liegt drin

und in diesem ist drin

Du benötigst insgesamt 5 Intervalle.
komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann so:



1.= streng monton steigend

2. = streng monton steigend

3.

4.= streng monoton steigend

5.= streng monoton steigend
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Intervalle sind jetzt richtig aber die Monotonieangaben leider noch nicht.

Du musst für jedes Intervall einen Repräsentant auswählen zB -2 für das 1. und dann f'(-2) berechnen:


da e^k und z^2 immer >0 sind

-> die Funktion ist über dem 1. Intervall streng monoton fallend.

Bei Extremstellen (nicht gleich Nullstellen der 1. Ableitung) gibt es immer einen Monotoniewechsel.
Komplex Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich das so schreiben, wenn ich alles richtig verstanden habe:

Meine 1.Ableitung lautet:







1.

= streng monoton fallend


2.

= streng monoton steigend

3.

=streng monoton steigend

4.

=streng monoton fallend

5.

=streng monoton fallend


So sieht das verdammt gut aus und das beste ist ich hab endlich mal Monotonie verstanden und wie man sie berechnet...vielen Dank hat sogar mal Spaß gemacht Mathe zu lernen!
Komplex Auf diesen Beitrag antworten »

den einen Vorzeichenfehler möchte ich noch bereichtigen:


5.

=streng monoton fallend
chili12 Auf diesen Beitrag antworten »

Freut mich Freude


Die Monotonieverhalten sind nun auch alle richtig. Aber in deinem Zwischenschritt ist irgendwie noch der Wurm drin.


(mit geeignetem z,k hast du ja schon richtig erkannt)

statt

sollte es so lauten:

(für x -3 eingesetzt und der ' am f ist auch wichtig smile )


und statt

sollte dies stehen

Ich denke anhand der Beispiele ist der Fehler am schnellsten zu entdecken.

mfg und weiterhin viel Spass mit Mathe
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