Grenzwert sin(1/x)

08.01.2011, 11:40

Holger124

Grenzwert sin(1/x)

Hallo mal ne Frage kann ich $\begin{eqnarray*} \lim{x \rightarrow 0} sin(1/x) \end{eqnarray*}$ so berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} sin(1/x) = \sum_k^{\infty}(-1)^k ( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2k+1}(2k+1)!})= \infty \end{eqnarray*}$ ??

Oder mache ich da jetzt einen Denkfehler.

Beste Grüße

08.01.2011, 11:44

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist in der Tat ein Denkfehler, der Sinus bildet nach $\begin{eqnarray*} \left[-1,1\right] \end{eqnarray*}$ ab, somit ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ schonmal gar nicht möglich.

Nun ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \sin(\frac 1x)=\lim\limits_{x\to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$ , was bekannt sein sollte.

08.01.2011, 11:47

Holger124

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, danke dir erstmal für die schnelle Antwort.

Zitat:

Nun ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \sin(\frac 1x)=\lim\limits_{x\to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$ , was bekannt sein sollte.

Ist mir bekannt, aber wieso darf ich meine obige Rechnung nicht machen? Ich meine der Sinus ist als Reihe definiert und daher kann ich doch den Grenzwert reinziehen. Ich weiß, daß es nicht stimmen kann, aber ich würde gerne meinen Denkfehler finden. ??

08.01.2011, 11:51

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du denn auf den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gekommen? Da dürfte dein Denkfehler liegen, guck da nochmal drüber.

08.01.2011, 11:57

Holger124

Auf diesen Beitrag antworten »

Hä? Es gilt $\begin{eqnarray*} (1/x) \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ wenn x gegen null strebt??

Also folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2k+1}(2k+1)!})= \infty \end{eqnarray*}$ ??

08.01.2011, 12:04

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du übersiehst das $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ .

08.01.2011, 12:14

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \sin(\frac 1x)=\lim\limits_{x\to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$

08.01.2011, 12:26

Holger124

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du übersiehst das $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ .

Ja schönt da habe ich aber trotzdem

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} sin(1/x) = \sum_k^{\infty}(-1)^k \cdot \infty \end{eqnarray*}$ ??

Zitat:

Zitat: Original von Iorek $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \sin(\frac 1x)=\lim\limits_{x\to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$ geschockt

Wissen wir doch, aber nun geht es um die explitzite Berechnung der Reihe. ;-)

08.01.2011, 12:41

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Holger124
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} sin(1/x) = \sum_k^{\infty}(-1)^k \cdot \infty \end{eqnarray*}$ ??

So etwas mag ich nicht sehen, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist ein Symbol, keine Zahl die du einsetzt und erst recht keine mit der man rechnet. geschockt

08.01.2011, 13:28

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Holger124

Zitat:

Zitat: Original von Iorek $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \sin(\frac 1x)=\lim\limits_{x\to \infty} \sin(x) \end{eqnarray*}$ geschockt

Wissen wir doch, aber nun geht es um die explitzite Berechnung der Reihe. ;-)

Was du dann aber weiter schreibst, läßt nicht darauf schließen, daß dir der Schrei von pseudo-nym wirklich in die Glieder gefahren ist. Auch Iorek äußert sich dazu nicht. Es geht doch darum, daß sich Nicht-Existentes nicht vergleichen läßt.

Laß das einmal mit der Reihe. Das führt hier zu nichts. Verwende stattdessen elementare Eigenschaften der Sinus-Funktion. Wie wäre es mit der Periodizität?

08.01.2011, 13:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Was du dann aber weiter schreibst, läßt nicht darauf schließen, daß dir der Schrei von pseudo-nym wirklich in die Glieder gefahren ist. Auch Iorek äußert sich dazu nicht. Es geht doch darum, daß sich Nicht-Existentes nicht vergleichen läßt.

Da bin ich gerade noch im PN-Austausch mit pseudo-nym, wir haben diese Umformung bzw. ähnliche Umformungen während Ana 1 des öfteren gehabt, ich gucke gerade, ob ich dazu noch irgendwelche Aufzeichnungen/Übungsblätter zu habe wo das vorkommt.

08.01.2011, 14:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ -Zeichen wird in zweierlei Bedeutung gebraucht:

Erstens als Auftrag, das Grenzverhalten eines Ausdrucks zu untersuchen.

Beispiel: "Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ ."
So wird das oft prägnant formuliert. Ganz richtig ist es aber nicht. Korrekt und zugegebenermaßen umständlich müßte es heißen: "Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) \end{eqnarray*}$ (eigentlich oder uneigentlich) existiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert."

Zweitens als Zeichen für den Wert des Grenzwertes, sofern dieser existiert. Wenn Grenzwerte existieren, kann man sie auch vergleichen. Aber eben nur dann. Auch Rechenregeln für Grenzwerte setzen immer deren Existenz voraus. Dabei sind teilweise auch die uneigentlichen Symbole $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ zulässig, aber nur solange dabei kein sogenannter unbestimmter Ausdruck entsteht.

Die wichtigsten unbestimmten Ausdrücke: $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0}, \, \frac{\infty}{\infty}, \, \infty - \infty, \, 0 \cdot \infty, \, 1^{\infty} \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 10:33

Holger124

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt gemeckert weil ich geschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow 0} sin(1/x) = \sum_k^{\infty}(-1)^k \cdot \infty \end{eqnarray*}$ .

Aber laut Skript gilt z.B. $\begin{eqnarray*} x \cdot \infty = \infty \forall x \in \mathbb{R}^n, x>0 \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 13:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir angegebene Regel ist korrekt (natürlich bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ).

Aber du bildest dann ja noch die Summe $\begin{eqnarray*} \infty - \infty + \infty - \infty \pm \ldots \end{eqnarray*}$
Und das geht eben nicht, denn $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ ist ein unbestimmter Ausdruck (siehe meinen vorigen Beitrag).

09.01.2011, 13:34

Holger124

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja nicht unbedingt ich kann doch schreiben:

$\begin{eqnarray*} [\sum_k^{\infty}(-1)^k := y] \cdot \infty = y \cdot \infty, \end{eqnarray*}$

Oder es scheitert daran dass das unendlich zurerst noch in der Summe ist und dann wie du schon gesagt hast darf man es nicht hinschreiben.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert sin(1/x)

Verwandte Themen