Orthogonale/Unitäre Matrizen - Gruppenbeweise

08.01.2011, 12:17

theo001

Orthogonale/Unitäre Matrizen - Gruppenbeweise

Hallo.

Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich beweisen soll, dass:

Sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}, V = K^{nxn} \end{eqnarray*}$

1) Die Gruppe der orthogonalen Matrizen $\begin{eqnarray*} O(n,K,) := \{A \in GL(n,K): A^{-1}=A^T\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL(n,K) \end{eqnarray*}$ .

2) Sei $\begin{eqnarray*} K= \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Die Gruppe der unitären Matrizen $\begin{eqnarray*} U(n) := \{A \in GL(n,\mathbb{C}: A^{-1}=\overline{A}^T\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe vpn $\begin{eqnarray*} GL(n,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ .

3) $\begin{eqnarray*} GL(n,K) := \{ A \in V : \end{eqnarray*}$ A regulaer $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation.

Meine Ideen:

1)

Orthogonale Matrizen haben die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} A^T \cdot A = E = A \cdot A^T \end{eqnarray*}$

Es ist zu zeigen, dass

a) $\begin{eqnarray*} E \in O(n,K) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} A^{-1} \in O(n,K) \end{eqnarray*}$
c) Für alle $\begin{eqnarray*} A, B \in O(n,K) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} AB \in O(n,K) \end{eqnarray*}$ .

a) $\begin{eqnarray*} E^T \cdot E = E \cdot E^T = E \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot {(A^{-1})}^T = A^T \cdot {(A^T)}^T = A^T \cdot A = E \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (AB)^T \cdot AB = B^T \cdot A^T \cdot A \cdot B = B^T \cdot E \cdot B = E \end{eqnarray*}$

2)

Unitäre Matrizen haben die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} A^T \cdot \overline{A} = \overline{A} \cdot A^T = E \end{eqnarray*}$ .

Hier müssen dieselben Eigenschaften a, b, c bewiesen werden.

a) $\begin{eqnarray*} E^T \cdot \overline{E} = E \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T \cdot \overline{A^{-1}} = {(A^T)}^T \cdot \overline{A^{-1}} = A \cdot \overline{A^{-1}} = A \cdot \overline{A^T} \end{eqnarray*}$
ist das soweit richtig? Denn hier komme ich nicht weiter...

c) $\begin{eqnarray*} (AB)^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{A} \cdot \overline{B} \end{eqnarray*}$
ebenso hier. Bin mir nicht sicher, ob das richtig ist bzw. wie ich es weiter umformen kann/muss.

3)

Eine Matrix A ist regulär, wenn es eine Matrix $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = E \end{eqnarray*}$ .

Zu beweisen sind nun die Eigenschaften: Existenz eines Inversen Elements, Existenz neutrales Element, Abgeschlossenheit, Assoziativität.

Das neutrale Element der Matrixmultiplikation ist doch immer die Einheitsmatrix.
Aber wie kann ich das hier beweisen?

Voraussetzung ist ja $\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = E \end{eqnarray*}$ .
Geht daraus nicht schon die Existenz des Inversen und des neutralen Elements hervor?

Und Abgeschlossenheit: da ist zu zeigen, dass es für zwei reguläre Matrizen A,B eine Matrix C gibt, so dass $\begin{eqnarray*} (AB) \cdot C = E \end{eqnarray*}$ .
Mir ist nicht klar, wie ich auf C kommen soll. Ist C das produkt der beiden Inversen Matrizen von A und B?

Vielen Dank im Voraus.

08.01.2011, 20:42

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Orthogonale/Unitäre Matrizen - Gruppenbeweise
Hi theo,

Zu 2b)+c): Es ist doch $\begin{eqnarray*} A\in {\rm U}(n,\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \overline A A^T=E \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} (\overline A)^T=\overline{(A^T)} \end{eqnarray*}$ . Wo siehst Du denn da noch Probleme?

Zu 3): Es ist bei solchen Beweisen wichtig, sich erst mal zu orientieren, was genau zu zeigen ist.
Das Neutrale hast Du ja schon gefunden und natürlich ist die Einheitsmatrix invertierbar und somit auch in $\begin{eqnarray*} {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ enthalten.
Dann musst Du noch zeigen, dass zu einem $\begin{eqnarray*} A\in{\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^{-1}\in{\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ ist, also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Zitat:

Mir ist nicht klar, wie ich auf C kommen soll. Ist C das Produkt der beiden Inversen Matrizen von A und B?

Das stimmt schon fast. Die Reihenfolge ist hier aber wichtig, da A und B ja nicht unbedingt miteinander vertauschen.

À propos Reihenfolge: Die ist bei der Numerierung der Aufgaben auch etwas merkwürdig. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

09.01.2011, 10:42

theo001

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für die Antwort.

3) ist eigentlich 1). Aber ich habe es in der Reihenfolge aufgeschrieben, in der ich die Aufgaben angefangen habe. Augenzwinkern

Also bei 2)c):

$\begin{eqnarray*} (AB)^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{AB} = B^T \cdot A^T \cdot \overline{A} \cdot \overline{B} = B^T \cdot E \cdot \overline{B} = B^T \cdot \overline{B} = E \end{eqnarray*}$

So sollte es passen.

Aber bei b) stehe ich ja hier:

$\begin{eqnarray*} {(A^{-1})}^T \cdot \overline{A^{-1}} = {(A^T)}^T \cdot \overline{A^{-1}} = A \cdot \overline{A^{-1}} = A \cdot \overline{A^T} \end{eqnarray*}$ ...

Sollte da nicht eigentlich $\begin{eqnarray*} \overline{A} \cdot A^T \end{eqnarray*}$ stehen?

Ich stehe da wohl gerade auf dem Schlauch. :/

3)

Zitat:

Dann musst Du noch zeigen, dass zu einem $\begin{eqnarray*} A\in{\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^{-1}\in{\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ ist, also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Dazu fällt mir nur ein, dass doch definiert ist, dass $\begin{eqnarray*} ({A^{-1})}^{-1} = A \end{eqnarray*}$ ist. Aber das ist wohl kein Beweis.

Bzgl. der Abgeschlossenheit:

Wenn $\begin{eqnarray*} A, B \in {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es $\begin{eqnarray*} A^{-1}, B^{-1} \in {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} A \cdot A^{-1} = E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \cdot B^{-1} = E \end{eqnarray*}$ .
Ist dann $\begin{eqnarray*} (AB) \cdot (A^{-1}B^{-1}) = E \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, dann ist mir ehrlichgesagt trotzdem nicht ganz klar, warum das so ist bzw. wie man rechnerisch darauf kommt.

Assoziativität:

$\begin{eqnarray*} A,B,C \in {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ .

Prinzipiell ist dann zu zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C \end{eqnarray*}$

Ich denke, allerdings, dass man hier auf jeden Fall die spezielle Eigenschaften der Matrizen in $\begin{eqnarray*} {\rm GL}(n,K) \end{eqnarray*}$ verwenden muss. Also, dass alle Matrizen invertierbar sind.

Nur ist mir unklar, wie ich das verwenden soll.
Ich werde wohl nicht $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \cdot (BB^{-1} \cdot CC^{-1}) = (AA^{-1} \cdot BB^{-1}) \cdot CC^{-1} \end{eqnarray*}$ zeigen müssen, oder?

09.01.2011, 12:41

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2): Es ist doch vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\overline{A}^T \end{eqnarray*}$ ist. Insofern ist selbstverständlich $\begin{eqnarray*} A\cdot \overline{A}^T=E \end{eqnarray*}$ .
Problematisch ist es hier eher, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A^T\cdot \overline{A}=E \end{eqnarray*}$ ist. Dafür benötigst Du, dass $\begin{eqnarray*} \overline E=E \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \overline A^T\cdot {A}=E=\overline E=\overline{\overline A\cdot A^T}=\overline{\overline{A}}\cdot\overline{A^T}=A\cdot \overline A^T=E \end{eqnarray*}$

Zu 3):
Es ist $\begin{eqnarray*} A^{-1}A=E \end{eqnarray*}$ und insofern besitzt $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Inverses (nämlich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) – damit bist Du fertig.

Die Assoziativität gilt für die Matrixmultiplikation bei allen Matrizen. Die Invertierbarkeit ist hier völlig irrelevant. Womöglich habt Ihr das auch schon irgendwo gezeigt und Du musst nur noch zitieren.

Zur Abgeschlossenheit: Im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} (AB) \cdot (A^{-1}B^{-1}) =ABA^{-1}B^{-1}\neq E \end{eqnarray*}$ . Lies meinen obigen Beitrag dazu noch mal und überlege, welcghe Möglichkeiten es hier noch gibt.
Es ist wirklich nicht schwer zu sehen.

Gruß,
Reksilat.

10.01.2011, 14:02

theo001

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

$\begin{eqnarray*} (AB) \cdot (A^{-1}B^{-1}) =ABA^{-1}B^{-1}\neq E \end{eqnarray*}$ .

Dann versuche ich es mal so: $\begin{eqnarray*} (AB) \cdot (B^{-1} A^{-1}) =AB B^{-1}A^{-1} = A E A^{-1} = A A^{-1} = E \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Grüße

10.01.2011, 14:05

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, $\begin{eqnarray*} B^{-1}A^{-1} \end{eqnarray*}$ ist das Inverse zu $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Orthogonale/Unitäre Matrizen - Gruppenbeweise

Verwandte Themen