Caratheodory

08.01.2011, 15:14	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Caratheodory Hallo, froahes neues Jahr. Ich benötige Hilfe beim Zeigrn folgender Aussage: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ein endlicher $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiver Inhalt auf einer Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie nun $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}(\mathcal{A} )\subset \{ B\in \mathcal{P}(X) : \text{ Für alle } \varepsilon > 0 \text{ ex. ein } A\in\mathcal{A} \text{ mit } d_{\mu^}(A,B)<\varepsilon\} \end{eqnarray*}$ Leider bin ich höchst ratlos. Hätte jemand einen Tipp zum Einstieg? Grüße, Sdhmo
08.01.2011, 17:04	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn bei dir $\begin{eqnarray} \overline{\sigma} \text{ und } d_{\mu^} \end{eqnarray*}$ ?
08.01.2011, 18:01	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Tjaaaa, also $\begin{eqnarray} d_{\mu^}:=\mu^(A\triangle B ) \end{eqnarray}$ während $\begin{eqnarray} A\triangle B := (A\setminus B)\cup (B\setminus A) \end{eqnarray}$ ist. Das ist eine halbmetrik auf $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(X)\times\mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ . Den bei der Aufgabe steht noch: Vgl. Bemerkung 1.15. Diese lautet wie folgt: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ endlicher, $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiver Inhalt auf einer Arlgebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ . a) Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mu^\vert_{\overline{\sigma}(\mathcal{A})} \end{eqnarray}$ die Vervollständigung des Maßes $\begin{eqnarray} \mu^\vert_{\sigma(\mathcal{A})} \end{eqnarray}$ ist. b) Definiere die Halbmetrik (wie oben). Dann gilt $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}(\mathcal{A})=\{ B\in \mathcal{P}(X) : \text{ Für alle } \varepsilon > 0 \text{ ex. ein } A\in\mathcal{A} \text{ mit } d_{\mu^}(A,B)<\varepsilon\} \end{eqnarray}$ wie oben. (d.h. $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}(\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ ist der Abschlluss von $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ bzgl. $\begin{eqnarray} d_{\mu^} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ ). c) Sei $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein äußeres Maß auf $\begin{eqnarray} \mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ , und seien $\begin{eqnarray} \mathcal{M}\subset\mathcal{P}(X) \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ -messbaren MEngen. Dann ist $\begin{eqnarray} (X,\mathcal{M}, v\vert_{\mathcal{M}}) \end{eqnarray}$ ein Maßraum. Dann, nach Caratheodory: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -additiver Inhalt aif einem Ring $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ . Dann ist das Mengensystem $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}(\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ aller $\begin{eqnarray} \mu^ \end{eqnarray}$ -messbaren Mengen eine ( $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ enthaltende) $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra [...]. Normalerweise stellt der gute Aufgaben. Bis jetzt habe ich aber noch nichtmal 'ne leise Ahnung, was für Tiere überhaupt in $\begin{eqnarray} \overline{\sigma}(\mathcal{A}) \end{eqnarray*}$ leben. Wäre über Hilfen sehr erfreut Schmo
08.01.2011, 22:23	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Vervollständigung geht es ja darum die Nullmengen zu "erkennen" , d.h. sie messen zu können. Wie habt ihr die Vervollständigung eines Maßes konkret eingeführt? Da gibt es (meines Wissens nach) 2 verschiedene Wege. Deine Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass du mit der Halbmetrik $\begin{eqnarray} d_{\mu^} \end{eqnarray}$ die Nullmengen "erkennen" kannst und diese mit $\begin{eqnarray} \mu^* \end{eqnarray}$ messbar sind. Vielleicht hilft dir mein Beitrag hier etwas weiter? Da habe ich auch etwas zu dem Thema gepostet. Noch ein Tipp: Eine Menge $\begin{eqnarray} $ A_0 \subset \Omega $ \end{eqnarray}$ liegt genau dann in $\begin{eqnarray} $ \overline{\sigma}(\mathcal A) $ \end{eqnarray}$ , wenn es Mengen $\begin{eqnarray} $ A_1,A_2 \in {\sigma (\mathcal A)} $ \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} $ A_1 \subset A_0 \subset A_2 $ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} $$$ \mu(A_2 \setminus A_1)=0 $ \end{eqnarray}$ . Denn die $\begin{eqnarray} $ \mu^* $ \end{eqnarray}$ -Vervollständigung von $\begin{eqnarray} $ \sigma({\mathcal A}) $ \end{eqnarray}$ besteht gerade aus den Mengen $\begin{eqnarray} $ A \cup N \text{ mit } A \in \sigma ( \mathcal A ) $ \end{eqnarray}$ und einer Teilmenge $\begin{eqnarray} N \in \mathcal N := \left\{A \in \mathcal A : \mu^* (A)=0 \right\} \end{eqnarray*}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »