Darf ich hier den e-Ansatz benutzen??

08.01.2011, 15:55

-Heiko-

Darf ich hier den e-Ansatz benutzen??

Liebe Leute,

Ich habe es mir immer so gemerkt: Ist eine DGL linear kann ich zur Lösung des homogenen Teils entweder TdV oder eben den e-Ansatz benutzen.

Nun bekomme ich bei folgender homogenen DGL allerdings 2 verschiedene Ergebnisse raus, was is da los?

Homogene DGL: y' = - y/t

Mit TdV erhalte ich als Lsg: y = C / t
Mit dem e-Ansatz erhalte ich aber y = C / e.
Verdächtig ähnlich, aber ja doch etwas völlig anderes. Und ich bin verwirrt, ein e taucht beim TdV natürlich gar nicht auf, aber wie soll denn da überhaupt das gleiche Ergebnis mit erzielt werden?

Ich danke euch!!

PS: Die Aufgabe geht noch weiter, man muss dann die partikuläre Lsg bestimmen. Ich denke das ist aber für diese Frage unwesentlich.

08.01.2011, 16:07

Cel

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Wie man sieht, stimmt die Lösung y = C/t. Die andere Lösung ist eine konstante, unabhängig von t und ergibt beim Ableiten 0. Die Lösung ist also offensichtlich falsch.

Ich bin in den DGLs nicht der fitteste, aber nimmt man den e-Ansatz nicht nur bei linearen DGLs mit konstanten Koeffizienten? Zeig ansonsten mal deine Rechnung mit dem e-Ansatz.

08.01.2011, 16:29

-Heiko-

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Danke für deine Antwort.

Tja, da bin ich halt nicht sicher, ich habe mir einfach gemerkt: Lineare DGL = e-Ansatz. Aber vielleicht ist das zu pauschal. Weiß da jemand mehr??

Meine Rechnung mit dem e-Ansatz (Ich nenne lambda hier "L", da ich keine Ahnung habe wie ich das schreibe:

y' = -y / t
y = e^Lt
y' = l e^Lt

-> L e^Lt + (e^Lt)/t = 0
-> e^Lt * (L + 1/t) = 0
--> L = -1/t

Eingesetzt: yh = C / e
Aus alten Unterlagen habe ich übernommen dass man beim Einsetzen immer noch ein "* C" dran hängt. Verstanden habe ich das nicht, aber vermutlich ist es wie die Konstante nach dem Integrieren.

Danke!!

08.01.2011, 16:33

Cel

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Zitat:

Original von -Heiko-
y' = -y / t
y = e^Lt

Das ist falsch. Wenn wir das untere noch mal ableiten, steht da

$\begin{eqnarray*} (e^{\lambda t})' = \lambda e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

e-Ansatz geht hier nicht, weil das t unten eben keine konstante innere Ableitung ist. Deswegen klappt der Ansatz auch nur, wenn die lineare DGL konstante Koeffizienten hat. Das "*C" liegt übrigens wirklich daran, dass beim Integrieren eine Konstante dazu kommt.

Edit: Ableitung verbessert.

08.01.2011, 16:54

-Heiko-

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Ich verstehe die Begründung nicht ganz.
Ist denn nicht $\begin{eqnarray*} e^{L x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet = L * $\begin{eqnarray*} e^{L x} \end{eqnarray*}$ ??

Außerdem, könntest du mir vielleicht mit einem kleinen Beispiel verdeutlichen was konstante Koeffizienten sind? Also ich weiß zwar was eine Konstante is und auch was ein Koeff. ist. Aber wie sieht das in einer DGL aus? Hat das vielleicht was mit den Begriffen autonom oder homogen zu tun??

DAnke!!!!

08.01.2011, 17:05

Cel

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Zitat:

Original von -Heiko-
Ich verstehe die Begründung nicht ganz.
Ist denn nicht $\begin{eqnarray*} e^{L x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet = L * $\begin{eqnarray*} e^{L x} \end{eqnarray*}$ ??

Was war denn da los? verwirrt

Du hast recht, ich hab wohl integriert ... Aber guck doch mal deine richtige Ableitung an. Die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} \lambda e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ . Und -y/t ist was? $\begin{eqnarray*} -\frac{e^{\lambda t}}{t} \end{eqnarray*}$ . Das ist ja nicht das gleiche.

Eine lineare DGL wäre zum Beispiel $\begin{eqnarray*} y{'' } - 3 \cdot y' + 2 \cdot y = 0 \end{eqnarray*}$ . Vor den Ableitungen stehen nur konstanten Zahlen, hier eben 1, -3 und 2. Bei dir steht aber ein -1/t davor, die Funktion hängt aber selbst von t ab, t ist also keine Konstante.

09.01.2011, 21:09

-Heiko-

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Ok, ich halte also folgendes als Ergebnis fest:

Aufgabe ist mit dem e-Ansatz nicht lösbar, da dieser nur bei linearen DGL (keine Potenz an den y) mit konstanten Koeff gilt. Konstante Koeff sind Zahlen. Ein t vor den Ableitungen spricht gegen den e-Ansatz.

Ist das so richtig??

Danke!!

10.01.2011, 16:32

Cel

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Würde ich so unterschreiben.

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