Grenzwertaufgabe mit einer e-funktion

08.01.2011, 16:02

crafti5

Grenzwertaufgabe mit einer e-funktion

Hallo zusammen, ich sitz hier gerad an einer Grenzwertaufgabe, wo ich einfach keinen ansatz bekomm, könnt ihr mir einen Tip geben, wie ich am besten vorgehen kann?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x-e^x) \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^x=0 \end{eqnarray*}$

ist, aber das bringt mir irgendwie nichts verwirrt

08.01.2011, 16:09

Roman Oira-Oira

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RE: Grenzwertaufgabe mit einer e-funktion

Zitat:

Original von crafti5
Ich weiß ja das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^x=0 \end{eqnarray*}$

Das ist auf jeden Fall falsch!

08.01.2011, 16:10

crafti5

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RE: Grenzwertaufgabe mit einer e-funktion

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira

Zitat:

Original von crafti5
Ich weiß ja das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^x=0 \end{eqnarray*}$

Das ist auf jeden Fall falsch!

sry tippfehler sollte so aussehen: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} e^x=\infty \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 18:35

crafti5

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kann mir denn keiner weiterhelfen?

09.01.2011, 18:50

Calvin

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Du hast einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ . Dieser ist nicht definiert.

Hast du schon eine Vermutung, ob der Grenzwert überhaupt existiert?

Was dürft ihr verwenden? Wie ist der Grenzwert bei euch definiert?

09.01.2011, 19:13

crafti5

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$\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ , da kann ich dann Bernoulli L'Hospital anwenden, wenn ich das richtig im Gedächtnis hab.

(Das heißt ich muss dann mit der Produkt- und Kettenregel weitervorgehen, ist das soweit richtig?)

Streich das, ist Quatsch.

Von $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ , die Ableitung ist $\begin{eqnarray*} 2e^{x-1} \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2011, 19:15

Chefkoch

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

09.01.2011, 19:17

Calvin

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Nein, L'Hospital kannst du nur bei $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Hast du denn schon eine Vermutung, ob der Grenzwert überhaupt existiert?

09.01.2011, 19:19

crafti5

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Meine Vermutung sagt, das es keinen Grenzwert gibt, aber ich weiß leider nicht genau wie man dieses beweisen kann bzw. wie ich an diese Aufgabe weiter heran gehen kann.

09.01.2011, 19:38

Calvin

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Richtig, der Grenzwert existiert nicht, weil eine Exponentialfunktion auf Dauer deutlich schneller steigt als eine Polynomfunktion.

Man könnte z.B. über Monotonie und Steigungsverhalten argumentieren.

09.01.2011, 19:52

crafti5

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Ok super danke Freude

Hab gerad auch die Lösung vom Prof. per Mail bekommen:

$\begin{eqnarray*} \infty * \left[0-1\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Diese Lösung kann ich absolut nicht nachvollziehen unglücklich

09.01.2011, 19:55

Calvin

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Dein Prof hat vermutlich $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ausgeklammert und verwendet, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

Habt ihr diesen Zusammenhang verwendet? Dieser wird auch durch die Aussage

Zitat:

eine Exponentialfunktion steigt auf Dauer deutlich schneller als eine Polynomfunktion.

begründet.

09.01.2011, 21:41

crafti5

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Wenn er das ausgeklammert hat, dann wäre doch der erste Ansatz den ich durch dich erhalten hab, niemals auf $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ gekommen.

Irgendwie will da etwas nicht bei mir das verstehen, irgendwo gibt es da noch einen knoten bei mir im kopf.

09.01.2011, 21:52

Calvin

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Wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$ , dann kann man ausklammern, und zwar $\begin{eqnarray*} x-e^x=e^x\left(\frac{x}{e^x}-1\right) \end{eqnarray*}$ . Damit lässt sich der Grenzwert bestimmen.

Da du von deinem Prof bereits eine Lösung in diese Richtung hast, würde ich das so schreiben.

Eine andere Begründung wäre, mit der ersten Ableitung die strenge Monotonie zu zeigen. Außerdem kann man damit begründen, dass das Gefälle immer mehr zunimmt (d.h. die Steigung immer negativer wird).

EDIT

Zitat:

Original von crafti5
Wenn er das ausgeklammert hat, dann wäre doch der erste Ansatz den ich durch dich erhalten hab, niemals auf $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ gekommen.

Welchen Ansatz meinst du? Den, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als eine Polynomfunktion? Beachte, dass du die Differenz betrachtest.

09.01.2011, 21:53

Manni Feinbein

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Warum benutzt Du nicht die Reihenentwicklung der e-Funktion?

09.01.2011, 22:04

crafti5

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Zitat:

Original von Calvin
Wenn man weiß, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0 \end{eqnarray*}$

das müsste man erstmal wissen unglücklich

Aber jetzt versteh ich auch warum, dank dem unten drunter stehenden Augenzwinkern

Zitat:

Original von crafti5
Wenn er das ausgeklammert hat, dann wäre doch der erste Ansatz den ich durch dich erhalten hab, niemals auf $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ gekommen.

Welchen Ansatz meinst du? Den, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als eine Polynomfunktion? Beachte, dass du die Differenz betrachtest.[/quote]

Dank dir für die hilfe smile

@Manni Feinbein
auf die Idee bin ich gar nicht gekommen

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