Borelmenge, Prinzip der guten Mengen

08.01.2011, 17:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Borelmenge, Prinzip der guten Mengen Meine Frage: Zeigen Sie mit dem Prinzip der guten Mengen: Ist $\begin{eqnarray} B\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ eine Borelmenge und $\begin{eqnarray} t\in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , so ist auch $\begin{eqnarray} t+B \end{eqnarray}$ eine Borelmenge. Meine Ideen: Zunächst möchte ich das Prinzip der guten Mengen kurz erläutern, damit alle, die damit nichts anfangen können, den von mir vorgeschlagenen Beweis nachvollziehen können. Ich zitiere aus "Einführung in die höhere Analysis", S. 213 von Dirk Werner: "Zu zeigen ist, dass jedes Element einer gegebenen $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ eine gewisse Eigenschaft $\begin{eqnarray} (X) \end{eqnarray}$ hat. Dann betrachte $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_0:=\left\{A\in \mathcal{A}: A hat (X)\right\} \end{eqnarray}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_0 \end{eqnarray}$ einen Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathcal{A} \end{eqnarray}$ enthält und selbst eine $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra ist. Es folgt dann $\begin{eqnarray} \mathcal{A}_0=\mathcal{A} \end{eqnarray}$ , was zu zeigen war." So, zurück zu der eigentlichen Aufgabe. Entsprechend dieser Erläuterung, bin ich nun so vorgegangen: 1.) Setze $\begin{eqnarray} D:=\left\{M\in \mathcal{B}(\mathbb R^n): t+M\in \mathcal{B}(\mathbb R^n)\right\} \end{eqnarray}$ Zu zeigen ist dann: $\begin{eqnarray} B\in D \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ enthält einen Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ , nämlich die Menge aller endlichen Vereinigungen von (von links) halboffenen Intervallen: $\begin{eqnarray} V:=\left\{\bigcup_{j=1}^{n}(a_j,b_j]:n\in \mathbb N,a_j,b_j\in \mathbb R^n,a_j\leq b_j,j=1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ , wobei wegen der Mehrdimensionalität $\begin{eqnarray} a=(\alpha_1,...,\alpha_n), b=(\beta_1,...,\beta_n), \alpha_k\leq \beta_k, k=1,...,n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (a,b]=(\alpha_1,\beta_1]\times ... \times (\alpha_n,\beta_n] \end{eqnarray}$ . Begründung: Mit $\begin{eqnarray} V\in D \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} t+V=\left\{t+v:v\in V\right\} \end{eqnarray}$ eine endliche Vereinigung von (von links) halboffenen Intervallen, d.h. es gilt tatsächlich $\begin{eqnarray} t+V \in \mathcal{B}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ . 3.) $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra (über $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ): (i) $\begin{eqnarray} \emptyset \in D, \mathbb R^n \in D \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \in \mathcal{B}(\mathbb R^n), t+\mathbb R^n\in \mathcal{B}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} M\in D \Rightarrow \mathbb R^n\backslash M \in D \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \mathbb R^n\backslash M\in \mathcal{B}(\mathbb R^n), t+(\mathbb R^n\backslash M)\in \mathcal{B}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} M_1,M_2,...\in D\Rightarrow \bigcup_{j=1}^{\infty}M_j\in D \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \mathcal{B}(\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ - Algebra ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow (2.)(3.): \mathcal{B}(\mathbb R^n)=\sigma(V)\subseteq D \end{eqnarray}$ und damit insbesondere $\begin{eqnarray} B\in D \end{eqnarray}$ , was zu zeigen war. Anmerkung: Bei (3.) bin ich mir nicht sicher, ob ich (i),(ii),(iii) richtig gezeigt habe.
08.01.2011, 21:05	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde der Beweis schaut gut aus. Ich würde lediglich 3.) i)ii) und iii) ein wenig mehr erläutern. Also die Behauptung warum dann auch $\begin{eqnarray} t+ \mathbb R^n \in \mathcal B (\mathbb R^n) \end{eqnarray}$ usw . folgt ist nicht so ganz klar. Würde das mal in Mengen ausführlich hinschreiben und ggf. mehr erläutern. Bei iii) hast du den Translationsvektor $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ einfach weggelassen. Den muss man bei der abzählbaren Vereinigung natürlich auch mitbeachten. Welches Messraum habt ihr denn hier zugrunde gelegt? $\begin{eqnarray} (\mathbb R^n,\mathcal B (\mathbb R^n)) \end{eqnarray}$ ? Ich kenne einen alternativen Beweis, der ähnlich verläuft, wo jedoch die Menge D etwas geschickte definiert wurde, was den Beweis dann vereinfacht. Bei Interesse kann ich ihn später posten. Kannst dann entscheiden welchen Beweis du nehmen willst. Ich denke aber, dass deiner in Ordnung ist, wenn du 3.) mehr erläuterst und begründest.
09.01.2011, 10:29	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für Deine Anmerkungen. Ich bin froh, dass ich diesen Beweis zustande bekommen habe: Wenn es einen eleganteren gibt, schaue ich mir den aber natürlich sehr gerne an!
09.01.2011, 14:14	Evelyn89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier der alternative Beweis: Für $\begin{eqnarray} $$ x \in \mathbb R^n $$ \end{eqnarray}$ betrachte die Abbildung $\begin{eqnarray} \Psi_x : \mathbb R^n \to \mathbb R^n<br /> y \mapsto y-x \end{eqnarray}$ Setze $\begin{eqnarray} \mathcal D := \left\{ A \subseteq \mathbb R^n : \Psi_x^{-1}(A)=A+x \in \mathcal B^n:=\mathcal B (\mathbb R^n) \right\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} $ \mathcal B^n \subseteq \mathcal D $$ \end{eqnarray}$ (Warum?!) Für $\begin{eqnarray} $ A \in \mathcal B^n $ \end{eqnarray}$ folgt also automatisch $\begin{eqnarray} $$ A \in \mathcal D $$ \end{eqnarray}$ und d.h. $\begin{eqnarray} $$ A \subseteq \mathbb R^n \text{ mit } \Psi_x^{-1}(A)=A+x \in \mathcal B^n ~ \Rightarrow \text{ Beh. } \end{eqnarray}$
09.01.2011, 21:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, sehr elegant. [Wäre ich aber nicht drauf gekommen.]

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