Grenzwert bestimmen

22.11.2006, 13:11	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen Hallo! Ich habe eine gegen a konvergente Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ und soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k = a \end{eqnarray}$ gilt. Ich habe bereits mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Wie kann ich aber jetzt noch zeigen, dass sie den gleichen Grenzwert wie die Folge hat? Bin für Ideen dankbar. lg
22.11.2006, 13:23	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Einfach die $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ Definition des Grenzwertes von Folgen verwenden (sowohl für das Mittel, als auch für die Folge $\begin{eqnarray} (a_k) \end{eqnarray}$ selber). Den Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in die Summe reinziehen, dann Dreiecksungleichung und die Summe geschickt aufteilen.
22.11.2006, 13:38	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen tut mir leid, ich weiß noch nicht ganz genau, was du meinst.
22.11.2006, 13:49	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Siehe auch hier: Konvergenz Mittelwert
22.11.2006, 13:53	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Es gilt: $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)-a=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k-a) \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N_\varepsilon-1} (a_k-a)+\frac{1}{n}\sum_{k=N_\varepsilon}^n (a_k-a) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n>N_\varepsilon \end{eqnarray}$ . Wähle nun zunächst $\begin{eqnarray} N_\varepsilon \end{eqnarray}$ so groß, dass $\begin{eqnarray} \|a_k-a\|\le\varepsilon/2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\ge N_\varepsilon \end{eqnarray}$ . Dann wählst du das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hinreichend groß, damit der erste Term ebenfalls kleiner gleich $\begin{eqnarray} \varepsilon/2 \end{eqnarray}$ ist. Das liefert dann (sauber aufgeschrieben) die Behauptung!!!
22.11.2006, 14:27	oldwise	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Danke erstmal für den Tipp. Die Idee die Summe in zwei Teilsummen zu zerlegen hatte ich auch schon. Eines ist mir noch unklar, und zwar: $\begin{eqnarray} (\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k) -a = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (a_k -a) \end{eqnarray}$ Warum machst es denn keinen Unterschied ob ich von der gesamten Summe a abziehe oder von jedem einzelnen Summanden?
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22.11.2006, 14:45	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Indem du von jedem Summanden a subtrahierst, tust du das insgesamt n-Mal. Die Summe wird danach aber durch n geteilt. (Du subtrahierst also von jedem der n Summanden nur a/n.)

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