Minimum und Maxium bei stetiger Funktion |
| 08.01.2011, 23:55 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Minimum und Maxium bei stetiger Funktion und zwar muss ich beweisen dass eine stetige Funktion f: R -> R mit gleichen uneigentlichen Grenzwerten für + und - unendlich ein Minimum und ein Maximum auf R besitzt. Das die Aussage stimmt ist mir schon klar und ich könnte mir auch vorstellen dass man das irgwie vill mit folgen beweisen muss aber wie genau ich da argumentiern muss fällt mir momentan schwer Danke für eure tipps! |
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| 09.01.2011, 00:22 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Minimum und Maxium bei stetiger Funktion
sicherheitshalber erst mal die Frage: wann ist ein Grenzwert eigentlich uneigentlich? und dann noch: meint das und : sowohl - als auch ? also ein Min. und auch ein Max.? . |
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| 09.01.2011, 01:41 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guten Abend. Zunächst müsste es ein logisches "oder" sein, denn: Sind die beiden uneigentlichen Limiten für gleich, wie z.B. bei , so muss es nicht unbedingt Maximum und Minimum geben, eines von den beiden doch in jedem Fall. ( Außer ihr habt in der Vorlesung R kompaktifiziert, wäre aber nicht schlüssig, weswegen. ) Wir nehmen nun einfach mal an die uneigentlichen Grenzwerte seien beide . Dann gibt es zu jedem K>0 immer ein L>0, so dass für alle x außerhalb des Intervalls [-L;L] gilt: f(x)>K, da ja f schließlich "links" und "rechts" gegen + unendlich strebt. Wir betrachten nun das Intervall [-L,L]. Dieses ist kompakt, f stetig, f nimmt also Max,Min darauf an. Überlege Dir nun Fallunterscheidungen, in denen Du einbeziehst, wie sich f am Rand von [-L,L] verhält. Prinzipiell muss dabei noch nichts rauskommen, dementsprechend ist so ein Intervall immer kleiner zu wählen. Lg, Dr.morrison |
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| 09.01.2011, 15:27 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey ja sry das war mein fehler! Natürlcih heißt es ein minimum oder ein maximum! aber es ist auch gefragt ob sich daraus folgern lässt ob f dann auch ein minimum und maximum hat aber da reicht ja ein gegenbsp um dass zu widerlegen z.b f(x) = x^2 .. @ Corvus: ein uneigentlicher Grenzwert ist der lim f(x) für x--> unendlich meiner meinung nach.. Erstmal danke für deine Tipps! Das versteh ich auch alles Aber ehrlich gesagt ist mir nich klar wie ich die fallunterscheidung machen soll.. Also ich versuchs wenigstens mal.. man kann sagen für x€ [-L,L] ist f(x)<= S, S:=sup f(x) x € [-L,L] und f(x) >= I, I:= inf f(x), x€[-L,L], d.h f(x) €[I,S] für alle x€ [-L,L] aber für x> L bzw x< -L ist f(x) ja > K bzw geht gegen + unendlich Kann man dann nich einfach sagen dass deswegen f(x) im Intervall [-L,L] ihr Minimum annehmen muss? Danke schonmal liebe grüße |
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| 09.01.2011, 16:31 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
echt? triviales Beispiel: 0 ist also hier ein "uneigentlicher" Grenzwert? . |
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| 09.01.2011, 16:45 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jap sozusagen.. auch wenn das uneigentlich denk ich oft weggelassen wird aber man kann es so nennen so stehts auch in der aufgabe " so dass die uneigentlcihen Gw lim f(x) und x->- lim f(x) existieren und gleich sind x--> + |
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| 09.01.2011, 16:53 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Griazi allerseits! Uneigentlich heißt unendlich/ minus unendlich für Grenzwerte. Die Aussage gilt auch, wenn für eine stetige Funktion der Limes gegen + unendlich / - unendlich übereinstimmen und wir mal von einer konstanten Funktion absehen. Was ich meinte, nochmal zu dem Intervall und der Fallunterscheidung (vielleicht ein nicht ganz glücklicher Ausdruck); die Idee ist die Folgende: Man kann ein Intervall [-L,L] finden , in dessen Inneren (!), also (-L,L) ein Minimum der Funktion existiert, das nicht an einem der beiden Randpunkte angenommen wird. Nun überlege Dir noch, dass so ein Minimum dann für den Beweis der Aussage schon ausreicht, und wie Du zu so etwas kommst. lg, dr. morrison |
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| 09.01.2011, 18:04 | Matheersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso dass hast du mit verhalten am rand gemeint... hmm irgwie steh ich grad ein wenig aufm schlauch 
dass das Minimum in dem Fall nicht an den beiden Randpunkten angenommen wird ist mir schon klar aber dass müsste man ja auch irgwie beweisen oder Und warum dass ausreichen sollte fällt mir grad echt schwer.. eig ham wir ja bisjetz nur für einen speziellen fall, nämlich für lim= + unendlich), gezeigt dass die funktion ein minimum besitzt... vill hast du ja noch ein wenig geduld 
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