Isomorphismus finden?!

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gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus finden?!
Hallo,
ich habe eine Gruppe (Z_6,+) und eine Gruppe (Z_7*, *), wo ich einen Isomorphismus angeben muss....

Ich brauch also eine Abbildungsvorschrift, die genau von Z_6 auf Z_7 abbildet und umgekehrt, oder sehe ich das falsch?

Wie kann man da vorgehen?

Ich probiere bisher nach dem try&error prinzip eine Vorschrift zu finden, aber momentan sieht es noch nicht all zu gut aus....

Ich habe irgendwo gelesen, dass man ein erzeugenden System finden muss...

Dies ist in Z_6 ja <1>, in Z_7* habe ich noch keines gefunden...wie findet man es?

Bisher habe ich folgendes aus den beiden Gruppen herausgeholt: Beide haben die Gleiche Anzahl an Elementen

Das neutrale Element von Z_6 ist 0, welches auf das neutrale Element Z_7 abbildert, also: PHI(0)->1

Das wars auch schon.. wie hat man vorzugehen?

nächtliche Grüße

Lara
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphismus finden?!
Hier ist es schon fast schwer, keine Komplettlösung zu liefern.

Du hast richtig erkannt, dass gelten muss f(0)=1, nun ist f(1)=f(0+1)=f(0)*f(1) nach Homomorphiebedingung, nun musst du ein geeignetes f(1) bestimmen, so dass die resultierende Abbildung dann bijektiv wird.
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

und genau da liegt mein Problem.

Genau das probiere ich gerade die ganze Zeit...

ich habe sachen wie x+1, 2x, 2x+1 ausprobiert und bin zu keinem ergebnis gekommen...

mache ich das überhaupt richtig?

bisher habe ich quasi folgendes probiert:

x -> 2x

f(0+1) -> f(0)*f(1)
2 -> 2

dies habe ich mit verscheidenen Werten ausprobiert und komme dabei immer zu einem Widerspruch.

In diesem Fall wäre das dann:

f(2+3), was 10 ergeben würde, also 4 in der Gruppe und f(2) * f(3) ergibt 24 also 3 in der Gruppe.

Dann habe ich also eine 4 die auf die 3 abbildet.

Leider habe ich durch f(2+0) ebenfalls eine 4 welche auf f(2)*f(0) also 4 abbildet.

Irgendwo muss da ja mein Fehler sein, eine Abbildung kann nicht mehrere Pfade von dem gleichen Element der Definitionsmenge besitzen... meine aber irgendwie schon...
4->4
4->3

kannst du mir eventuell noch einen Tipp geben?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso willst du denn unbedingt eine Funktionsvorschrift a la f(x)=..... finden?

Ordne doch zuerst einmal die Elemente zu.

betrachte zum Beispiel

f(0)=1
f(1)=??? und überlege dir für die ??? ein geeignetes Element aus , die restlichen Bilder findest du dann mit Hilfe der Homomorphiebedingungen.

Man kann sich auch überlegen, warum zum Beispiel f(1)=2 nicht in Frage kommt.
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin bisher davon ausgegangen, dass ich eine Abbildungvorschrift ala x->irgendwas
suchen muss...

liege ich da falsch?unglücklich dann waren meine bisherigen Lösungsversuche wohl alle totaler mist... okay unglücklich
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ordne erst mal die Elemente einander zu, hast du eine Idee für f(1) ?
 
 
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

wie ordnest du diese zu? bzw wie findest du diese?

ich hab mir jetzt einfach mal folgendes aufgeschrieben:
f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
f(4) = 5
f(5) = 6

wieso kann man dies nicht verwenden?..kannst du mir eventuell ein Beispiel nennen?
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

halt moment...
ich kann gerade nicht editieren

da sie bijektiv sein soll, muss f(1) = 0 sein. oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gästchenum1
wie ordnest du diese zu? bzw wie findest du diese?

ich hab mir jetzt einfach mal folgendes aufgeschrieben:
f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 4
f(4) = 5
f(5) = 6

wieso kann man dies nicht verwenden?..kannst du mir eventuell ein Beispiel nennen?


unglücklich Das ist ja nun mal totaler Blödsinn, deine Abbildung ist ja nicht mal ein Homomorphismus, denn es ist:

.

Du musst nur f(1) richtig bestimmen, den Rest regelt die Homomorphiebedingung, jetzt gib dir mal nen bisschen Mühe.


Zitat:
Original von gästchenum1
halt moment...
ich kann gerade nicht editieren

da sie bijektiv sein soll, muss f(1) = 0 sein. oder?

unglücklich
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden... dann:

f(1) = f(0+1) = f(0)*f(1)

f(0) ist ja bereits 1.

also ist f(0+1) = f(1)
also hätte ich f(1) = f(1), was eine wahre Aussage ist, mir aber irgendwie nicht so weiterhilft unglücklich

ich könnte jetzt sagen f(1) = 3

dann hätte ich ja f(0+1) = f(0)*(f1) -> f(1) = 1*f(1) -> 3 = 1*3. Da kann ich aber doch unendlich verschiedene nehmen?

dann würde ich jetzt f(1) = 3 nehmen (weil du meintest 2 ginge nicht).

Dann hätte ich f(2) = f(0+2) = f(0)*f(2) , also wäre f(2) = 2.

dann wäre f(3) -> f(1+2) = f(1)*f(2) -> 3*2 , also wäre f(3) = 6 ?

f(4) -> f(1+3) = f(1)*f(3) = 3*6 = 18/6 = 0.

f(5) -> (2+3) = f(2)*f(3) = 2*6 = 12/6 = 0.

Also würde f(1) = 3 und f(2) = 2 schonmal nicht funktionieren? da ich für f(4) und f(5) dann das gleiche Element der Zielmenge abgebildet hätte?
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

momentchen eben Augenzwinkern mein vorheriger Text ist falsch, bin gerade kurz am rumtüfteln Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir schon mal sagen: f(1)=3 führt zum Isomorphismus Augenzwinkern
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

so, ich darf nicht durch 6 teilen um mod rauszubekommen, sondern 7.

ich hätte jetzt folgendes:

f(0) = 1
f(1) = 3
f(2) = 2
f(3) = 6
f(4) = 4
f(5) = 5.

Nun müsste ich dies umgekehrt rechnen oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso noch mal umgekehrt?

Die Zuordnung ist bijektiv und ein Gruppenhomomorphismus, das sollte doch reichen, oder sollst du die Umkehrfunktion auch angeben?
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

jap stimmt. Mein Fehler, ist ja bereits bijektiv.
Nun stelle ich mir nur noch die Frage, wie ich das erklären soll, dass dies mit f(1) = 3 geht. Muss man sowas echt ausprobieren? von f(1) = 1-6 ? bis es klappt?

Außerdem frage ich mich, wie ich jetzt die Lösung schreiben soll, muss ich einfach nur die Abbildung wie gerade eben aufschreiben? Gilt das als Isomorphismus?

Oder muss ich irgendwie schreiben: Isomorphismus lautet : f(0) = 1 , f(1) = 3.
?

Und natürlich, fast vergessen.

Schonmal VIELEN Dank für deine Mühe! Echt spitze von dir Augenzwinkern Und das um 2 Uhr nachts Big Laugh smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest schon sagen, dass es sich um einen Homomorphismus handelt, ich würde das folgendermaßen notieren:

Homomorphiebedingung des Hom ergibt f(0)=1 (neutrale Elemente werden stets auf Neutrale abgebildet)

Mit f(1)=3 erhalten wir:









Bijektivität sollte kein Problem sein, Homomorphie wurde verwendet.
gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay super! Augenzwinkern

Vielen vielen vielen lieben Dank ! Ich kanns nicht oft genug sagen Augenzwinkern

Ich hab es jetzt endlich verstanden =). Gute Nacht, und frohes Neues ( wenn mans jetzt noch sagen kann^^)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn noch fragen sind, du weißt, wo du uns findest.

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gästchenum1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, werde ich gleich noch erledigen Augenzwinkern Dieses Forum ist einfach spitze!
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