Inhomogenes LGS mit abh. Parameter (Lambda)

09.01.2011, 10:39

instinkt

Inhomogenes LGS mit abh. Parameter (Lambda)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verzweifel gerade an der Lösung des folgenden LGS:

$\begin{eqnarray*} \lambda x + 1y + (\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3x -1y +2z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1x + 1y + \lambda y = \lambda \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe beinhaltet 3 Teilaufgaben:
a) keine Lösung => $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$
b) unendlich Lösungen => $\begin{eqnarray*} \lambda = -3 \end{eqnarray*}$
c) genau eine Lösung => hier komm ich nicht weiter unglücklich

Über Hilfe wäre ich dankbar!

Meine Ideen:
(1) $\begin{eqnarray*} \lambda x +1y +(\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} -3x -1y +2z = 0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 1x +1y +\lambda y = \lambda \end{eqnarray*}$

(3)*3 zur (2) addieren
(1) $\begin{eqnarray*} \lambda x +1y +(\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 0x +2y +(3\lambda +2)z = 3\lambda \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 1x +1y +\lambda y = \lambda \end{eqnarray*}$

(1)*-1/Lambda zur (3)
(1) $\begin{eqnarray*} \lambda x +1y +(\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 0x +2y +(3\lambda +2)z = 3\lambda \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 0x +(1-\frac{1}{\lambda})y -(1+\lambda+\frac{2}{\lambda})y = \lambda-\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

(2)*-1/2 + 1/2Lambda zur (3)
(1) $\begin{eqnarray*} \lambda x +1y +(\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 0x +2y +(3\lambda +2)z = 3\lambda \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 0x +0y +(-\frac{3\lambda-2}{2} + \frac{3\lambda+3}{\lambda} -2 + \lambda)y = - \frac{3\lambda}{2} + \frac{3\lambda-2}{2\lambda} + \lambda \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Probe mache und in (3) für Lambda "-3" bzw. "2" einsetze komme ich bereits auf der linken Seiten nicht auf Null (was wg. det(A)=0 jedoch passieren sollte)...

09.01.2011, 14:08

mYthos

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RE: Inhomogenes LGS mit abh. Parameter (Lambda)

Zitat:

Original von instinkt
...
(1)*-1/Lambda zur (3)
(1) $\begin{eqnarray*} \lambda x +1y +(\lambda-2)z = 1 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 0x +2y +(3\lambda +2)z = 3\lambda \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} 0x +(1-\frac{1}{\lambda})y -(1+\lambda+\frac{2}{\lambda})y = \lambda-\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$
...

Vorzeichenfehler in der dritten Zeile!
Richtig wäre

(3) $\begin{eqnarray*} 0x +(1-\frac{1}{\lambda})y +(\lambda -1+\frac{2}{\lambda})y = \lambda-\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

mY+

09.01.2011, 15:12

instinkt

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RE: Inhomogenes LGS mit abh. Parameter (Lambda)

Zitat:

Vorzeichenfehler in der dritten Zeile!
Richtig wäre

(3) $\begin{eqnarray*} 0x +(1-\frac{1}{\lambda})y +(\lambda -1+\frac{2}{\lambda})y = \lambda-\frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

mY+

Genau da lag der Hund also begraben, danke Dir!

Oben ist mir auch noch ein Fehler passiert: Es muss heißen

a) keine Lösung => $\begin{eqnarray*} \lambda = -3 \end{eqnarray*}$
b) unendlich Lösungen => $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe gelöst. Danke!

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