Gleichung mit komplexen Zahlen

22.11.2006, 14:44

MarkusEL

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Gleichung mit komplexen Zahlen

Folgende Gleichung ist gegeben und soll gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} jz² - 2z - j + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Ich hab zuerst ein Binom gebildet

$\begin{eqnarray*} (jz - 1)² \end{eqnarray*}$

dabei bleibt ein Rest $\begin{eqnarray*} 2jz + 2z - 1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun fortfahren?

22.11.2006, 15:00

Geistermeister

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Ausklammern von j:
$\begin{eqnarray*} j(z^{2}+2jz-1) + 1 \end{eqnarray*}$
zum Binom zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} j(z+j)^{2} \end{eqnarray*}$
Und dann zur Gleichung:
$\begin{eqnarray*} j(z+j)^{2} = -1 = j*j \end{eqnarray*}$
Dann musst du nur noch durch j dividieren, die Wurzel ziehen und zuletzt -j rechnen; dann bist du fertig!

22.11.2006, 15:04

MarkusEL

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Dem kann ich nich ganz folgen...

wo klammerst du denn das $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ aus?

Ahhh..ok...jetzt...

Also erhalte ich $\begin{eqnarray*} z=Wurzel (j) - j \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 15:22

MarkusEL

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Noch eine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{n}} {(1 - j)^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Wie kann man diese hier berechnen?

22.11.2006, 17:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von MarkusEL
Also erhalte ich $\begin{eqnarray*} z=Wurzel (j) - j \end{eqnarray*}$

Und welche Lösungen hast du jetzt? Es gibt nämlich 2.

Zu der anderen Aufgabe:
erweitere mit $\begin{eqnarray*} (1+j)^{n+2} \end{eqnarray*}$

22.11.2006, 18:54

MarkusEL

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von MarkusEL
Also erhalte ich $\begin{eqnarray*} z=Wurzel (j) - j \end{eqnarray*}$

Und welche Lösungen hast du jetzt? Es gibt nämlich 2.

Gute Frage...was ist denn die 2.?

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23.11.2006, 12:05

MarkusEL

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Also nach der Erweiterung erhalte ich zusammengefasst und gekürzt

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{n}} {2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Und das muss jetzt noch nach n umgestellt werden, oder!?

23.11.2006, 12:17

klarsoweit

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Also ich habe was anderes. Und wieso nach n umstellen? Was soll eigentlich in der Aufgabe gemacht werden?

23.11.2006, 12:27

MarkusEL

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Die Aufgabenstellung lautet: Berechne!

Also ich schreib mal meine Rechenschritte auf:

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{n} * (1 + j)^{n+2}} {(1 - j)^{n+2} * (1 + j)^{n+2}} \end{eqnarray*}$

zusammengefasst nach Potenzgesetzen:

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{2n+2}} {(1 + j - j - j^{2})^{n+2}} \end{eqnarray*}$

dann hab ich die Potenzen gekürzt, also durch $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$

und erhalte schlussendlich

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{n}} {2} \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 13:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von MarkusEL
dann hab ich die Potenzen gekürzt, also durch $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$

Nach welchem Potenzgesetz hast du welche Potenzen wie gekürzt? verwirrt

verwirrt

Und was ist $\begin{eqnarray*} (1 + j - j - j^{2})^{n+2} \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2006, 13:27

MarkusEL

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Zitat:

Original von klarsoweit

Und was ist $\begin{eqnarray*} (1 + j - j - j^{2})^{n+2} \end{eqnarray*}$ ?

das ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$

^^das war wahrscheinlich wieder ein Schuss in den Ofen...ok, also kann ich da nix kürzen...aber wie kann ich das sonst weiter vereinfachen?

23.11.2006, 14:09

klarsoweit

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Nicht viel. Es sei denn, du nutzt die Polarkoordinatendarstellung für komplexe Zahlen:
$\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 14:14

AD

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Da gibt es schon noch einige Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} (1+j)^{2n+2} = ((1+j)^2)^{n+1} = (2j)^{n+1} \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 14:15

MarkusEL

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Also könnte ich als Lösung stehen lassen:

$\begin{eqnarray*} \frac {(1 + j)^{2n+2}} {2^{n+2}} \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2006, 14:29

dx

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$\begin{eqnarray*} ( 1 + \operatorname{j} )^{2n + 2} = \left( ( 1 + \operatorname{j} )^2 \right)^{n+1} = ( 2 \operatorname{j} )^{n+1} = 2^{n+1} \operatorname{j}^{n+1} \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 14:42

MarkusEL

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Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} j^{n+1} \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2006, 14:44

klarsoweit

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Ja.

Danke an Arthur. Er konne mal wieder eins draufsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2006, 14:46

AD

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Ich würde es noch $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2} j^{(n+1 \mod 4)} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber man muss ja nicht übertreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2006, 14:47

MarkusEL

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Aber wenn in der Aufgabenstellung steht Berechne...muss ich es da nicht noch nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen?

Bis jetzt hab ich es doch nur vereinfacht...

23.11.2006, 15:01

MarkusEL

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von MarkusEL
Also erhalte ich $\begin{eqnarray*} z=Wurzel (j) - j \end{eqnarray*}$

Und welche Lösungen hast du jetzt? Es gibt nämlich 2.

Was war denn nun die 2. Lösung?

$\begin{eqnarray*} - Wurzel (j) - j \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2006, 15:04

AD

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Ja. Aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{j} \end{eqnarray*}$ ist auch nicht gerade eine Lösungsangabe in Normaldarstellung. Besser, du nutzt noch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{j} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1+j) \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von MarkusEL
Aber wenn in der Aufgabenstellung steht Berechne...muss ich es da nicht noch nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auflösen?

Bis jetzt hab ich es doch nur vereinfacht...

Terme kann man vereinfachen, Gleichungen kann man auflösen.
Und du hast hier einen Term.

23.11.2006, 16:11

MarkusEL

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Häng schon wieder fest...

Löse folgende Gleichungen in C:

a) $\begin{eqnarray*} z^{3} =-8j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -2 * j^{\frac {1} {3}} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} (z - 1)^{4} + 64 = 0 \end{eqnarray*}$

...ausmultipliziert ergibt das ein Polynom 4. Ordnung...wie kann ich das nach z auflösen, oder geht es vielleicht auch einfacher?

c) $\begin{eqnarray*} \frac {(z + 1)} {(z + j)} = 3j \end{eqnarray*}$

mit (z+j) erweitern ?

23.11.2006, 18:14

klarsoweit

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Zu a und b: so geht das nicht. Am besten wäre es, wenn du -8j bzw. -64 in die Polarkoordinatenform bringst. Also z.B. sowas:
$\begin{eqnarray*} -8j = |-8j| \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$ mit geeignetem Winkel phi.

23.11.2006, 18:24

MarkusEL

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Sowas haben wir zwar schonmal gemacht, jedoch war das da einfacher...

...wie wählt man denn den geeigneten Winkel Phi?

Berechnen kann man ihn nicht, weil der Realteil 0 ist, oder?!

23.11.2006, 19:29

Dlopoel

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$\begin{eqnarray*} z^3 = - 8j \ \ \Leftrightarrow \ \ z^3 - \left( 2j \right)^3 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z - 2j \right) \left( z^2 + 2jz - 4 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Es wurde $\begin{eqnarray*} a^3 - b^3 = \left( a - b \right) \left( a^2 + ab + b^2 \right) \end{eqnarray*}$ verwendet.

Jetzt hast du ein Nullprodukt, so daß die Gleichung in eine lineare und eine quadratische Gleichung zerfällt. Lösungsformel!

23.11.2006, 20:01

MarkusEL

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Ok...dabei erhalte ich für

$\begin{eqnarray*} z_{1} = 2j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2} = -j + 3^{\frac {1} {2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{3} = -j - 3^{\frac {1} {2}} \end{eqnarray*}$

Und wie kann man b) und c) lösen?

23.11.2006, 23:18

Dlopoel

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Weiter oben hattest du schon $\begin{eqnarray*} (1 + j)^2 = 2j \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} (1 + j)^4 = -4 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (z - 1)^4 = -64 \ \ \Leftrightarrow \ \ (z - 1)^4 = \left( 2 (1 + j) \right)^4 \end{eqnarray*}$

Verwende: $\begin{eqnarray*} a^4 = b^4 \ \ \Leftrightarrow \ \ a = \pm b \ \ \text{oder} \ \ a = \pm jb \end{eqnarray*}$

Und c)? Das führt doch sofort auf eine lineare (!) Gleichung.

23.11.2006, 23:26

MarkusEL

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Also ist bei b) $\begin{eqnarray*} z_{1} = 3 + 2j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2} = -1 -2j \end{eqnarray*}$

Zu c) ... ich seh da keine lineare Gleichung...wäre auch niemals auf die beiden Lösungen hier gekommen unglücklich

unglücklich

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