Existiert der Grenzwert?

09.01.2011, 12:27

Börn

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Existiert der Grenzwert?

Meine Frage:
Hallo, habe die Aufgabe zu untersuchen, ob der Grenzwert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac {2x+sinx}{2x-sinx} \end{eqnarray*}$

existiert und soll ihn gegebenenfalls bestimmen.

Meine Ideen:
Der Sinus ist ja nur eine nach oben und unten beschränkte Funktion, d.h. die Werte liegen alle zwischen -1 und 1. Wenn x jetzt gegen Unendlich strebt hat der Sinus keinen Grenzwert, da er ja eine alternierende und keine konvergierende Funktion ist.
Also denke ich, dass der obige Grenzwert nicht existiert.
Nach der Regel von Hospital müsste ich ja dann auch immer die Ableitung de Terme bilden und habe dann immer abwechselnd Sinus und Kosinus vorhanden, welche ja beide nicht konvergieren.

Oder gibt es von dieser Funktion einen Grenzwert und wenn ja, wie kann man diesen herausfinden?

09.01.2011, 12:33

lgrizu

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RE: Existiert der Grenzwert?
Wende l Hospital zwei mal an.

09.01.2011, 12:35

Börn

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Also das ganze auf 2 Brüche aufteilen oder 2 mal hintereinander L'Hospital anwenden?

09.01.2011, 12:36

lgrizu

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Zwei mal hintereinander l Hospital anwenden.

09.01.2011, 12:38

Airblader

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Zitat:

Original von lgrizu
Zwei mal hintereinander l Hospital anwenden.

Jetzt bin ich aber gespannt. Mit welcher Begründung machst du das ein zweites Mal verwirrt

verwirrt

air

09.01.2011, 12:42

lgrizu

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@ air:
Die Frage verstehe ich nicht, was meinst du mit "Begründung"?

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09.01.2011, 12:44

Airblader

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Die Regel von l'Hospital hat ja gewisse Voraussetzungen. Kurz gesagt: Man braucht den Typ "0/0" oder "oo/oo". Nach der ersten Anwendung liegt das aber nicht mehr vor.

Vielleicht gibt es den aber einfach auch noch in einer Formulierung, die ich nicht kenne (?) Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

09.01.2011, 12:46

Börn

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Okay, dann käme ich hier hin:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac {2x+sinx}{2x-sinx}=\lim_{x \to \infty} \frac {2+cosx}{2-cosx} = \lim_{x \to \infty} \frac {-sinx}{sinx}= -1 \end{eqnarray*}$

Aber ich denke da müsste als Grenzwert 1 rauskommen, also ist da i-wo ein Fehler drin, den ich gerade nicht sehe.

Und wie kann ich zeigen, dass ich L'Hospital hier überhaupt anwenden kann? Da muss ich ja erstmal in die Gleichung einfach Unendlich einsetzen und zusehen, dass ich das auf einen unbestimmten Ausdruck umforme. Gehe ich dann davon aus, dass

$\begin{eqnarray*} sin(\infty)= \infty \end{eqnarray*}$

ist? Weil dann hätte ich ja die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty+\infty}{\infty - \infty} \end{eqnarray*}$

und das wäre dann umformbar?!

09.01.2011, 12:48

lgrizu

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@air:

Stimmt, nach dem erstmaligen Anwenden ist die vorliegende Funktion periodisch und l Hospital versagt, hast recht.

09.01.2011, 12:50

Airblader

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Okay. Nachdem das geklärt ist halte ich mich hier erstmal wieder raus smile

smile

air

09.01.2011, 12:50

Börn

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Also kann man den Grenzwert nicht bestimmen?
Zeichnerisch läge der bei 1

09.01.2011, 13:05

Börn

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Also ist L'Hospital hier nicht anwendbar und daher kann ich den Grenzwert nicht bestimmen?!

Es gibt ja noch die Taylor-Reihenentwicklung. Könnte man mit ihr den Grenzwert bestimmen? Gehört nicht zum Aufgabenblatt aber würde mich mal interessieren...

09.01.2011, 13:12

Airblader

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Da lgrizu grade offline ist:

Zitat:

Original von Börn
$\begin{eqnarray*} sin(\infty)= \infty \end{eqnarray*}$

Das ist erstmal falsch. In deinem Eröffnungspost hast du doch selber geschrieben, der Sinus ist beschränkt. Und im Übrigen setzt man "unendlich" nicht irgendwo ein, das ist nämlich keine Zahl.

Mit l'Hospital kommen wir hier nicht voran. Das heißt noch lange nicht, dass man den Grenzwert nicht bestimmen kann .. man muss es nur anders tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir starten also wieder bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{2x + \sin x}{2x - \sin x} \end{eqnarray*}$ .

Kürze den Bruch mit 'x'.

air

09.01.2011, 13:25

Börn

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Ja, war ein dämlicher Gedanke mit dem Sinus gegen Unendlich Big Laugh

Big Laugh

Mit dem Einsetzen ist klar, dass man das nicht so sagt, weil Unendlich keine Zahl ist, aber im Prinzip setze ich das ja schon ein, da man ja sonst nicht auf die unbestimmte Form käme...man sagt es halt nur nicht so smile

smile

Okay, jetzt sehe ich worauf du hinaus willst:

$\begin{eqnarray*} \frac {2x+sinx}{2x-sinx}=\frac {2+ \frac{sinx}{x}}{2- \frac{sinx}{x}}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{sinx}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

(hatten wir auch mal beim Thema Folgen und Reihen, da haben wir zwar nur auf Monotonie und Konvergenz untersucht, aber ich meine der Prof hätte auch gesagt, dass das ne Nullfolge ist)

Okay dann habe ich natürlich:

$\begin{eqnarray*} \frac {2}{2}= 1 \end{eqnarray*}$

D.h. ja dass ich L'Hospital gar nicht benutzen brauchte...und dass bei einem Aufgabenblatt extra zum Thema...mal wieder eine Falle des Profs

Das mit dem Ansatz x zu kürzen hätte ich drauf kommen müssen...Hatte mir hier sogar schon Sinus x durch x am Rand aufgeschrieben gehabt, habe nur mal wieder nicht dran gedacht, das dann auch zu benutzen smile

smile

ALso, denke, dass das dann alles so richtig ist?! Vielen Dank für die Hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2011, 13:25

Calvin

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Zitat:

Original von Börn
Also ist L'Hospital hier nicht anwendbar und daher kann ich den Grenzwert nicht bestimmen?!

Es gibt ja noch die Taylor-Reihenentwicklung. Könnte man mit ihr den Grenzwert bestimmen? Gehört nicht zum Aufgabenblatt aber würde mich mal interessieren...

Schätze die Funktion nach oben bzw. unten ab.

Du hast ja selbst schon gesagt, dass sinus auf das Intervall [-1:1] beschränkt ist. Hat das für große x überhaupt noch Auswirkungen auf den eigentlichen Term?

EDIT
Sorry, dass ich mich noch mit einem alternativen Ansatz dazwischen gemogelt habe. Halte mich jetzt erst mal wieder raus.

09.01.2011, 13:28

Airblader

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Ja, so stimmt es dann Freude

Freude

air

09.01.2011, 13:28

Börn

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@Calvin
Nein, dann hat das natürlich keine Auswirkung mehr und ich hätte dann eine Form, um L'Hospital anzuwenden.

Man sieht, dass es mal wieder mehrere Wege zum Ziel gibt smile

smile

09.01.2011, 13:35

Airblader

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@ Calvin

Ist schon okay. Wir waren ja eh fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

09.01.2011, 13:56

Börn

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Okay, ist mir ein bisschen peinlich, aber ich hab da noch eine Aufgabe, wo grad i-wie nicht weiterkomme.

[attach]17493[/attach]

Die Grenzwertbestimmung muss ja nur für den Exponenten erfolgen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} (a-b)^{kt}<br /> \end{eqnarray*}$

Für den ersten Spezialfall a=b ergibt sich dann ja $\begin{eqnarray*} 0^{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

Für den ganzen Term ergibt sich dann die Form $\begin{eqnarray*} \frac {0}{0} \end{eqnarray*}$

also ein unbestimmter Ausdruck und L'Hospital ist anwendbar. Ich hoffe, dass meine Überlegung bis dahin richtig ist.

Nun muss ich den Term ja ableiten, aber da hakt es bei mir. Wie leitet man eine Funktion mit doppeltem Exponenten ab? Oder kann ich mir das Leben bei der Aufgabe noch leichter machen?

09.01.2011, 14:27

Airblader

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Ist soweit in Ordnung. Und was ist am doppelten Exponenten so schlimm? Du wendest nach wie vor schlicht die Kettenregel an.

Ich bitte übrigens jemanden hier zu übernehmen, da ich nun gleich weg muss! Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

09.01.2011, 14:31

Börn

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Also, wenn ich habe

$\begin{eqnarray*} f(t)= e^{{(a-b)}^{kt}}<br /> \end{eqnarray*}$

Ist dann

$\begin{eqnarray*} f'(t)= (a-b)^{kt} * e^{{(a-b)}^{kt}} * k* ln(a-b)<br /> \end{eqnarray*}$

?

Und wenn ich jetzt t gegen Unendlich streben lasse komme ich auf 0....Ist es das schon?

09.01.2011, 18:35

Börn

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Für den Fall, dass a<b ist würde kein Grenzwert existieren.
Und bei a>b....würde ich sagen strebt der Grenzwert gegen unendlich?

10.01.2011, 19:55

Börn

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So, wollte noch mal nachfragen, ob mir einer bei der Aufgabe helfen kan.
Ich habe jetzt mal mit einem Programm Graphen für verschiedene Werte von a,b und k zeichnen lassen.

Für den Fal a=b ist die Funktion nicht definiert, weil im Nenner Null. Der Graph hat nur den Punkt P(0/1)

Für den Fall a>b muss man drei Fälle unterscheiden: 1. (a-b)<1 , 2. (a-b)=1 und 3. (a-b)>1
Bei 1. konvergiert das Ganze gegen Null, bei 3. gegen b. Bei 2. entsteht eine Parallele zur x-Achse die dann den Wert $\begin{eqnarray*} a*b* \frac {1-e}{b-a*e} \end{eqnarray*}$ hat.

Für den Fall a<b ergeben sich nur punktweise Werte (so wie bei der Funktion x^x im negativen Bereich der x-Achse), sodass dieser Fall vernachlässigt werden kann.

Rechnerisch das Ganze zu beweisen ist das ja mit der Regel nach L'Hospital nachzuweisen...
Ist die Ableitung denn so richtig?
$\begin{eqnarray*} <br /> f(t)= e^{(a-b)^{kt}}<br /> <br /> f'(t)= (a-b)^{kt}*e^{(a-b)^{kt}}*k*ln(a-b)<br /> \end{eqnarray*}$

Wäre für weitere Denkanstösse sehr dankbar.

10.01.2011, 21:21

Börn

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Keiner, der mir hier weiterhelfen kann? unglücklich

unglücklich

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