Kurvendiskussion einer Funktionsschar: Extrempunkte

09.01.2011, 14:40

sana

Kurvendiskussion einer Funktionsschar: Extrempunkte

Hallo, Mitglieder von Matheboard.de. Ich stehe einen Tag vor einer Mathearbeit in der 12. Klasse (Grundkurs), die von Funktionsscharen handelt, und bearbeite gerade eine Übungsaufgabe, bei der ich allerdings nicht weiterkomme. Sie dürfte ziemlich einfach für euch sein, da ich nur nicht weiterkomme, weil ich in Mathe so schrecklich bin. :P

Ich bitte euch, meine bisherigen Ergebnisse zu prüfen und mir weiterzuhelfen, wo ich steckengeblieben bin.

Grundfunktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-kx^2 \end{eqnarray*}$
Daraus habe ich die Ableitungen gezogen:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=4x^3-2kx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12x^2-2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=24x \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen der Grundfunktion habe ich durch Substituieren und Ausklammern gelöst.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-kx^2 \end{eqnarray*}$
wird zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=z^2-kz \end{eqnarray*}$
wird zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=z(z-k) \end{eqnarray*}$

Dabei ergaben sich für mich die Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ falls k>0
$\begin{eqnarray*} x3=-\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ falls k>0

Ich hoffe, dass die Fallunterscheidung korrekt ist.

Nun will ich die Extrempunkte bestimmen...
Notwendige Bedingung:
$\begin{eqnarray*} 4x^3-2kx=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(4x^2-2k)=0 \end{eqnarray*}$

ergibt

$\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2-2k=0 \end{eqnarray*}$ | +2k
$\begin{eqnarray*} 4x^2=2k \end{eqnarray*}$ | :4
$\begin{eqnarray*} x^2=\frac{1}{2}k \end{eqnarray*}$ | Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} x2 = \sqrt{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x3 = -\sqrt{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$

Nun komme ich allerdings nicht weiter. Für die hinreichende Bedingung muss ich die Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. einsetzen, also:

$\begin{eqnarray*} f''(\sqrt{\frac{1}{2}k})=4*\sqrt{\frac{1}{2}k}^3-2k*\sqrt{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$

Frage: Wie soll ich hier nun herausfinden, ob f'' positiv oder negativ ist? Wie soll ich die Extrempunkte erfahren? Hier ist viel zu viel unbekannt. Gehe ich es vielleicht zu schwer an? Und dann muss ich auch noch Fallunterscheidung bilden...

Ich würde mich sehr um schnelle Hilfe freuen, da solche Probleme 1 Tag vor der Arbeit sehr kritisch sind. unglücklich

09.01.2011, 14:45

Jack_Black_93

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Ich habe mir deine Rechnung nicht ganz angeschaut, aber du musst wohl dann eine Bedinung für k aufstellen:

Zum Beispiel (damit du weißt, was ich meine):

wenn $\begin{eqnarray*} k > 2 \end{eqnarray*}$ dann an der Stelle x eine Hochpunkt

wenn $\begin{eqnarray*} k < 2 \end{eqnarray*}$ dann an der Stelle x ein Tiefpunkt

Sprich es ist von k abhängig

09.01.2011, 14:47

Seawave

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RE: Kurvendiskussion einer Funktionsschar: Extrempunkte
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}k}^3 = \sqrt{\frac{1}{2}k} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}k} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$

Wie kannst du das geschickt zusammenfassen / vereinfachen?

09.01.2011, 14:48

Seawave

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Zitat:

Original von Jack_Black_93
Ich habe mir deine Rechnung nicht ganz angeschaut, aber du musst wohl dann eine Bedinung für k aufstellen:

Zum Beispiel (damit du weißt, was ich meine):

wenn $\begin{eqnarray*} k > 2 \end{eqnarray*}$ dann an der Stelle x eine Hochpunkt

wenn $\begin{eqnarray*} k > 2 \end{eqnarray*}$ dann an der Stelle x ein Tiefpunkt

Sprich es ist von k abhängig

Achtung! Die hinreichende Bedingung muss erfüllt sein! So wie es da steht, ist es falsch! Erstmal mit meinem Tipp vereinfachen.
Man bedenke, dass es sich um eine Parabel handelt ;-)

09.01.2011, 14:55

sana

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RE: Kurvendiskussion einer Funktionsschar: Extrempunkte
Äh....
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{8}k^3} \end{eqnarray*}$ ? traurig

09.01.2011, 15:23

Seawave

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RE: Kurvendiskussion einer Funktionsschar: Extrempunkte
Die Zusammenfassung ist richtig, aber nicht wirklich sinnvoll.
Ich geb dir noch einen Tipp:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Na, klingelt's? :-)

09.01.2011, 16:04

sana

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AAAAAAAAAAAHHHHHH!

Ich habe mein Problem gefunden:
Wo bei mir $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ steht, habe ich tatsächlich die Werte in die ERSTE Ableitung eingefügt.... das macht alles natürlich sehr viel komplizierter!

Tatsächlich hieße es:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12*\sqrt{\frac{1}{2}k}^2-2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=12*\frac{1}{2}k-2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=6k-2k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4k \end{eqnarray*}$

Und da k positiv sein muss, weil man es sonst nicht in eine Wurzel hätte packen können, ergibt sich, dass sich bei dem x-Wert $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}k} \end{eqnarray*}$ ein Tiefpunkt befindet... smile

Dankeschön für die Hilfe, wenn ich auch immer noch nicht wirklich verstanden habe, was am Ende gemeint war.

Ich werde jetzt weiterrechnen, und notfalls nochmal schreiben, falls ich nicht weiterkomme, falls dies in Ordnung ist.

10.01.2011, 11:33

Seawave

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Okay, daran lag es dann wohl.
Worauf ich hinauswollte war, dass der Term 0 ergibt, denn
$\begin{eqnarray*} 4*\sqrt{\frac{1}{2}k}^3-2k*\sqrt{\frac{1}{2}k}= 4\cdot\frac{1}{2}\cdot k \cdot \sqrt{\frac{1}{2}k}-2k*\sqrt{\frac{1}{2}k} = 0 \end{eqnarray*}$

Da du wieder in die erste Ableitung eingesetzt hast, ist völlig klar, dass da 0 rauskommt, denn genau das ist ja die notwendige Bedingung für Extremstellen.

Denk dran, auch noch die beiden anderen möglichen Extremstellen zu untersuchen.

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