Grenzwerte einer Funktion

09.01.2011, 15:36

alex2007

Grenzwerte einer Funktion

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R, \, x_0 \in \mathbb R, \, f(x)>0 \, \forall \, x \in \mathbb R/\left\{x_0\right\} \end{eqnarray*}$

Zeige:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}=f(x)=0 \iff \lim_{x \to x_0}=\frac {1}{f(x)}=\infty \end{eqnarray*}$

( unter dem $\begin{eqnarray*} x\to x_0 \end{eqnarray*}$ steht noch $\begin{eqnarray*} x\neq x_0 \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:

Ehrlich gesagt stehe ich auf dem Schlauch, wie ich das zeigen soll. Für mich ist das einfach nur logisch und gerade dann wenn was völlig klar scheint, was ich nicht recht wie ich das zeigen soll. Hier wäre n Tipp für die Herangehensweise intressant. man könnte ja als beispiel f(x) =x nehmen und ax0=0...dann ist das logisch, das 1/x gegen unendlich geht

09.01.2011, 15:38

tmo

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Arbeite direkt mit den beiden Definition für die Grenzwerte 0 und unendlich.

09.01.2011, 15:46

alex2007

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Zitat:

Original von tmo
Arbeite direkt mit den beiden Definition für die Grenzwerte 0 und unendlich.

Meinst du via epsilon-definition?

09.01.2011, 15:49

tmo

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Ja. Gebe die beiden Definitionen doch mal an.

09.01.2011, 16:17

alex2007

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Allgemeine Definition:

$\begin{eqnarray*} \forall \, \epsilon >0 \, \exists \, \delta>0: \,| x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} | f(x)-L|<\epsilon \end{eqnarray*}$ wobei L der Grenzwert ist.

Heißt also für unser beispiel:

$\begin{eqnarray*} | f(x)-0|= f(x)<\epsilon \end{eqnarray*}$

und für nur wie schreibe ich den Grenzwert "unendlich" in die Definition?

verwirrt

09.01.2011, 16:44

alex2007

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jemand anderes nen Tipp für mich? verwirrt

09.01.2011, 20:50

alex2007

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Man könnte ja "rückwärts" gehen und sagen:

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{f(x)} -\infty | <\epsilon \end{eqnarray*}$

da gilt epsilon>0, muss der betrag also möglichst 0 werden:

heißt also 1/f(x) muss gegen unendlich gehen. und daraus folgt, dass f(x) gegen 0 konvergieren muss.

ist das so machbar?

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