Meßbarkeit, Funktionenfolge

09.01.2011, 16:00

Gast11022013

Meßbarkeit, Funktionenfolge

Meine Frage:
Erstmal muss ich ein bisschen die Ausgangssituation beschreiben, dann stelle ich meine eigentliche Frage:

In der Vorlesung war folgender Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} f:X\to \overline{R} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f\geq 0 \end{eqnarray*}$ und f meßbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Es gibt eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_j) \end{eqnarray*}$ mit
1. $\begin{eqnarray*} f_j\geq 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ einfach und meßbar
2. $\begin{eqnarray*} (f_j) \end{eqnarray*}$ monoton wachsend
3. $\begin{eqnarray*} \lim f_j=f \end{eqnarray*}$ (d.h. punktweise für alle x in X: $\begin{eqnarray*} f_j(x)\to f(x) \end{eqnarray*}$ .

Und dann wurde für die Beweisrichtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Folgendes definiert, das das alles erfüllen soll:

$\begin{eqnarray*} f_j:=\sum_{k=1}^{j^{2^j}}\frac{k-1}{2^j}\chi_{A_{j,k}}+j*\chi_{B_j} \end{eqnarray*}$ , wobei

$\begin{eqnarray*} A_{j,k}:=f^{-1}((\frac{k-1}{2^j},\frac{k}{2^j}]) \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} B_j:=f^{-1}(j,+\infty ]) \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe ist es nun zu zeigen:

(i) Jedes $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ ist eine nichtnegative einfache meßbare Funktion.

(ii) Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_j) \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend.

(iii) Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_j) \end{eqnarray*}$ konvergiert punktweise gegen f.

Wer kann mir hierbei helfen, denn ich komme damit nicht zurecht.

Meine Ideen:
Bei (ii) muss man sicherlich zeigen:

$\begin{eqnarray*} f_{j+1}\geq f_j \end{eqnarray*}$ , ich sehe aber nicht, wie man das zeigen kann.

Zu (i) und (iii) fehlen mir ebenfalls die Ansätze. Ich kann nur nachschlagen, was z.B. punktweise Konvergenz bedeutet (das habe ich auch getan, die Begriffe sind mir geläufig), aber die konkreten Ansätze fehlen mir.

Ich meine, wenn man sich das aufzeichnet, ist z.b. die Monotonie offensichtlich, aber man muss es ja ordentlich aufschreiben...

09.01.2011, 17:03

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Eure Art, das aufzuschreiben finde ich ein bisschen ungünstig...

Sie ist jedenfall äquivalent dazu Hilfs-Funktionen g_n zu definieren über

$\begin{eqnarray*} g_n(x) = \begin{cases} \dfrac{\big\lfloor 2^n x \big\rfloor}{2^n} & 0 \le x < n \\ n & x \ge n \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} x \mapsto \lfloor x \rfloor \end{eqnarray*}$ die floor-Funktion bezeichnet.

Nun definiert man $\begin{eqnarray*} f_n(x) = g_n(f(x)) \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser Konstruktion sollten (ii) und (iii) schon fast offensichtlich sein (zumindest sind sie leicht gezeigt, wenn man nur

$\begin{eqnarray*} x - 1 < \lfloor x \rfloor \le x \end{eqnarray*}$

beachtet).

Zu sehen, dass diese Funktionen einfach sind, ist auch nicht sehr schwer, da alle g_n einfach sind.
Für die Messbarkeit benutzt du am besten:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue-messbar und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Borel-messbar. Dann ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ Lebesgue-messbar.

09.01.2011, 17:07

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp.

Ich muss es aber in unserer Schreibweise notieren...

09.01.2011, 18:34

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht wirklich weiter.

Ich habe mir zu (i) was überlegt, aber ich habe keine Ahnung, ob das stimmt:

Gilt nicht: $\begin{eqnarray*} X=A_{j,k}\cup B_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,...,j^{2^j} \end{eqnarray*}$ und ist damit nicht $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ meßbar und nichtnegativ?

Und wegen der Einfachheit: Nimmt $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ nicht j+1-Werte, also endlich viele Werte an?

Zu (ii) habe ich mir überlegt, dass ja $\begin{eqnarray*} A_{j,k}=A_{2j,k+1}\cup A_{2j+1,k+1} \end{eqnarray*}$ sein könnte und $\begin{eqnarray*} B_j=A_{j+1,k+1}\cup B_{2j} \end{eqnarray*}$ und vielleicht würde dann folgen, dass $\begin{eqnarray*} f_j\leq f_{j+1} \end{eqnarray*}$ .

Das ist sicher nicht korrekt, aber meine Idee ist, dass man die Intervalle irgendwie als disjunkte Vereinigungen darstellen kann.

Zu (iii) Ist $\begin{eqnarray*} f(x)=\infty, x\in X \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} f_j(x)=j \end{eqnarray*}$ , und das geht natürlich für j gegen unendlich gegen unendlich.
Ist $\begin{eqnarray*} f(x)<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j>f(x) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f_j(x)\leq f(x)<f_j(x)+2^{-j} \end{eqnarray*}$ und insgesamt diie gewünschte punktweise Konvergenz.

Also.. ich weiß, dass hier sehr viel Falsches enthalten ist, aber ich dachte mir, vielleicht ist es eine Motivation für jemanden, mir zu helfen.

verwirrt

09.01.2011, 18:53

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Meßbarkeit, Funktionenfolge
Ich glaube, ich fange nochmal bei 0 an, denn ich habe die Schreibweise glaube ich gar nicht richtig begriffen.

Was bedeutet eigentlich die Schreibweise?

$\begin{eqnarray*} f_j:=\sum_{k=1}^{j^{2^j}}\frac{k-1}{2^j}\chi_{A_{j,k}}+j*\chi_{B_j} \end{eqnarray*}$ ??

09.01.2011, 22:40

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Meßbarkeit, Funktionenfolge
Kann mir das jemand erläutern?

Vielleicht bekomme ich den Beweis selbst hin, wenn ich erstmal verstanden habe, was man da eigentlich für Funktionen $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ hat.

verwirrt

10.01.2011, 12:04

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du denn daran nicht? Sigma steht für Summation, j ist eine natürliche Zahl, chi für die charakteristische Funktion der Menge, welche tiefgestellt ist...

10.01.2011, 12:13

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe daran nicht, wie man ganz konkret die Werte ermittelt für $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3,... \end{eqnarray*}$ .

Also z.B. mal für $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_1=\sum_{k=1}^{2}\frac{k-1}{2}\chi_{f^{-1}((0,\frac{1}{2}])}+\chi_{f^{-1}((1,+\infty])} \end{eqnarray*}$

Das sollte ergeben:

$\begin{eqnarray*} f_1=\frac{1}{2}\chi_{f^{-1}((\frac{1}{2},1])}+\chi_{f^{-1}((1,+\infty])}= ? \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wie man jetzt auf das Ergebnis kommt.

10.01.2011, 12:56

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zum konkreten Beispiel, dass j=1 ist.

Bedeutet das nun, dass für die x-Werte, die im Intervall (0.5,1] liegen, die erste charakteristische Funktion 1 ist, für alle, die nicht in diesem Intervall sind, ist sie 0.

Für alle x-Werte, die im Intervall (1,unendlich] wird die zweite charakteristische Funktion auf 1 gesetzt und für alle, die nicht in diesem Intervall liegen auf 0.

Soweit habe ich das wohl verstanden.

Aber die Summation verstehe ich jetzt nicht, was soll denn da rauskommen?
Es kann doch jeweils 0 oder 1 pro charakteristische Funktion herauskommen, woher weiß man, was man nehmen muss.

[Entschuldigung, wenn das saublöd ist, aber es hakt bei mir.]

10.01.2011, 13:00

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Bedeutet das nun, dass für die x-Werte, die im Intervall (0.5,1] liegen, die erste charakteristische Funktion 1 ist, für alle, die nicht in diesem Intervall sind, ist sie 0.

Ja.

Allgemein muss man für gegebenes x halt eine Fallunterscheidung machen, ob das nun in der jeweiligen Menge drin ist oder nicht, und dann summiert man darüber, um den Wert f_j(x) zu bekommen.

Zitat:

Aber die Summation verstehe ich jetzt nicht, was soll denn da rauskommen?

Ich verstehe nicht, was diese Frage bedeuten soll. verwirrt

Das ist halt einfach eine Summe von Funktionen.

10.01.2011, 13:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann habe ich versucht irgendwas zu verstehen, was im Ansatz ganz falsch war.

Okay, zurück zur eigentlichen Aufgabe....

Wie soll man jetzt z.b. sehen, dass die Funktionenfolge monoton wachsend ist (Teilaufgabe (ii))??

Ich werde einfach nicht schlau daraus.

10.01.2011, 13:39

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche mal wieder was.

(i)

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ bestehen ja aus der Summe von endlich vielen Funktionen (wie ich gelernt habe) und man führt insgesamt $\begin{eqnarray*} j*2^j+1 \end{eqnarray*}$ Additionen aus. Ich weiß nicht, wie ich das besser ausdrücken kann: Jedenfalls würde ich so begründen, dass die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ endlich sind.

Dass sie nicht-negativ sind, sieht man ja eigentlich auch: Denn die charakteristischen Funktionen, die vorkommen, sind entweder 0 oder 1 und die Faktoren, die jeweils davor stehen, sind jedenfalls positiv, also kann da nichts Negatives rauskommen in der Summe.

Und die Messbarkeit... die $\begin{eqnarray*} A_{j,k}, B_j \end{eqnarray*}$ sind halboffene Intervalle (also Borelmengen bzw. Erzeuger der Borel-sigma-Algebra) des Definitionsbereichs von f. f ist n.V.´ $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}-\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ - meßbar und daher würde ich sagen, dass die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ messbar sind.

(ii) Es gilt: $\begin{eqnarray*} x<x_1 \forall x\in A_{j,k},x_1\in A_{j+1,k} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} y\leq y_1 \forall y\in B_j, y_1\in B{j+1} \end{eqnarray*}$ . D.h. die $\begin{eqnarray*} A_{j,k},B_j \end{eqnarray*}$ sind (streng) monoton wachsend und daher auch die $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ .

Bei (iii) weiß ich grad nichts.

Neue Frage »

Antworten »

Meßbarkeit, Funktionenfolge

Verwandte Themen