Radikal eines Ideals ist Ideal

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Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
Radikal eines Ideals ist Ideal
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Sei (R,+,*) kommutativer Ring und a Ideal von R.
dann ist auch rad a :={r € R I ex. n€ N mit r^n € a} Ideal von R.

ich hab keine ahnung wie ich das zeigen kann.
ich weiß nur, dass ich fürs ideal zeigen müsste, dass rad a untergruppe von R ist und ein element aus R verknüpft mit einem Element aus rad a wieder in rad a liegt. aber wie genau ich da ran gehe weiß ich nicht. wäre sehr dankbar für hilfe.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Hi Elise,

Zitat:
ich weiß nur, dass ich fürs ideal zeigen müsste, dass [...] ein element aus R verknüpft mit einem Element aus rad a wieder in rad a liegt.

Warum fängst Du dann nicht einfach mal an?

Nimm Dir zwei Elemente , .
Was heißt das für ?
Dann wende die Definition des Radikals an, um zu zeigen, dass ist.

Diese ersten Schritte sind ein völlig selbstverständliches Vorgehen, für das man nicht die geringsten Ideen benötigt, sondern einfach nur Definitionen nachgeht...

Gruß,
Reksilat.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
also wenn x€rad a d.h. x^n ist im ideal a

und x^n € a verknüpft mit r€R ist in a, da wir wissen dass a ideal ist.

aber wie bekomm ich jetzt den sprung vom ideal a zum rad a hin?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Du solltest Dir überlegen, was zu zeigen ist.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
ok, vl. erst einmal für mein verständnis.
das radikal von a enthält alle elemente r aus dem ring die mit einem natürlichen exponenten im ideal a liegen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Ja, das Radikal von a enthält alle Elemente x des Rings, für ein natürlicher Exponent n existiert, so dass im Ideal a liegt.
Was ist also zu zeigen, wenn man zeigen will, dass xy im Radikal von a liegt?
 
 
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
wenn xy€ rad a
dann is xy€R und (xy)^n € a

müsste ich jetzt zeigen dass dies stimmt. also dass xy € R ?
sorry steh irgendwie aufn shclauch
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Das ist blanker Unsinn!

Zitat:
wenn xy€ rad a

So kannst Du schon mal nicht anfangen. Schließlich musst Du doch zeigen, dass ist, dann kannst Du das doch nicht voraussetzen.

Zitat:
müsste ich jetzt zeigen dass dies stimmt. also dass xy € R ?

ist ein Ring. Natürlich ist das Produkt zweier Ringelemente wieder im Ring. Das hat mit der Aufgabe aber nichts zu tun.

Wenn Du nicht mal in einem verständlichen Satz aufschreiben kannst, was zu zeigen ist, damit ist, dann kann ich Dir auch nicht helfen.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
na was zu zeigen ist, sagst du doch.
es ist zu zeigen dass x*y € rad a ist. denn ein element aus rad a mit einem ringelement muss ja in rad a sein.
aber wie man da hin kommt ist doch gerade das schwierige.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Ich frage:
Zitat:
Was ist also zu zeigen, wenn man zeigen will, dass xy im Radikal von a liegt?


Du antwortest:
Zitat:
es ist zu zeigen dass x*y € rad a ist

verwirrt

So kommen wir garantiert nicht weiter.
Schläfer
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Ich weiß nicht was dafür zu zeigen ist. tut mir leid. wenn ich das wüsste, würde ich die frage nicht ins forum stellen, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Es steht alles da!
rad a ist klar definiert!
Da steht ein einwandfreies Kriterium, wann ein Element in rad a enthalten ist.

Es ist mir völlig unklar, wie man im Studium bis zu diesem Stoffgebiet gelangen kann und nicht mal ansatzweise mit einer Definition arbeiten kann.

Das Totschlagargument "dann würde ich nicht fragen" kannst Du Dir sparen. Ich kann und will nämlich nicht jede völlig trivialen Schritt erklären, sondern dort helfen, wo auch mal wirkliche Idee nötig sind.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
muss ich jetzt zeigen dass (xr)^n € a ist?
weil dass xr€R hattest du ja beriets richtig gesagt ist automatisch in R dann fehlt nur dass (xr)^n im ideal a ist und daher ist xr € rad a, oder ist das immer noch kompletter unsinn?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Es ist wenigstens ansatzweise ein Schritt in die richtige Richtung. Tanzen

Allerdings nennst Du y jetzt plötzlich r (was verwirrend ist) und führst die Variable n nicht richtig ein - bzw. verwendest sie doppelt.

Also:

Es ist zu zeigen, dass ein existiert, so dass ist.
Da ist, gibt es ein , mit . (Das hatten wir oben schon festgestellt, deshalb sollte man n jetzt nicht doppelt verwenden.)

Wir suchen also solch ein k und dabei ist es einen Versuch wert, zu überprüfen, ob das n dafür geeignet ist. Wir versuchen also nun mal zu zeigen, dass ist.

Hinweis: Es ist (Warum?)

PS:
Zitat:
weil dass xr€R hattest du ja beriets richtig gesagt ist automatisch in R dann fehlt nur dass (xr)^n im ideal a ist und daher ist xr € rad a

Das ist für mich unlesbar, da einzelne Wörter und insbesondere Satzzeichen fehlen.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
und (xr)^n = x^n * r^n

und r^n ist im ideal a und weil x € rad a ist ist auch x^n in a
somit ist auch (xr)^n in a

also ist xr € rad a wobei r€R und x€ rad a

oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Wieso sollte bzw. in liegen? Dafür gibt es keinen Grund. Es wird auch nicht benötigt.
Dass ist, reicht aus. (Definition eines Ideals beachten)
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
r ist Element von R in meinen Antworten
und meine n sind Natürliche Zahlen.

wieso kann ich nicht nur (xr)^n = x^n * r^n nutzen, sondern muss noch ein k einführen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Du musst Deine Variablen vernünftig einführen, denn sonst weiß keiner, was Du damit meinst.
Mit kann man eine Variable nicht einführen. Es ist zu zeigen, dass eine solcher Exponent existiert, also muss man auch erklären, wie man auf diesen Exponenten kommt.

Insbesondere gilt nicht für jedes beliebige .

Das k musst Du nicht unbedingt einführen, man kann es alles auch anders aufschreiben, nur wollte ich ja auch verdeutlichen, was gezeigt werden muss.
Was es mit dem k und dem n im obigen Beitrag auf sich hat, solltest Du verstehen.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
das k muss gleich dem n sein.

damit (xr)^k=(xr)^n=x^n * r^n gilt und ich interpretieren kann, dass x^n € a ist aufgrund der def. des radikals. Und wegen def. des ideals ist ein idealelement * ringelement = ein idealelement.
Folglich ist x^n *r^n= (xr)^n € a.

Ist dies ausreichend?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Ja, Du hast mit k=n eine geeignete belegung für das k gefunden. Es gibt also ein k, so dass ist. Freude

Nun der zweite Teil?
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
nun müsste ich zeigen dass bezüglich der anderen Verknüpfung; hier +, rad a auch ideal ist.

x€rad a r€R

ich brauche als Ergebnis x+r € rad a.

dafür muss ich wieder zeigen dass x+r in R sowie dass es ein k € N gibt s.d. (x+r)^k € a

Da zwei Elemente aus R VErknüpft mit + in R sind (Abgeschlossenheit bzgl. +).
Fehlt mir noch zu zeigen, dass (x+r)^k € a ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Voraussetzen musst Du jetzt aber auch . Lehrer

Es gibt also ein , mit und es gibt ein , mit .

Hier wird die Einführung einer separaten Variable k eben wirklich wichtig.
Wie könnte man nun das wählen?
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
muss ich mir jetzt hier verschiedene k anguckene? Wie z.B. k=0, k=1 usw?
Dann habe ich aber bei k=0 für (x+r)^0 =1 heraus. Aber ist 1€a?
Bei k=1 habe ich dann (x+r), wie weiß ich hier ob dies € a ist?
Bei k=2 dann (x+r)²=x²+2xr+r²

Hiermit komm ich also auch nicht weiter.
Könntest du mir noch einen Tipp geben, bitte?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Im Allgemeinen ist (jedes Ideal, das die 1 enthält ist sogleich der ganze Ring).

Das Abklappern einzelner k's bringt auch nichts, da es ja nur für ein k erfüllt sein muss und dieses k hängt natürlich von m und n ab. Augenzwinkern

Du solltest erst mal aufschreiben, was ausmultipliziert ist.
Stichwort: Binomiallehrsatz
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
k müsste natürlich in vebrindung mit dem n und m stehen. also dass k evtl. sowas wäre wie n+m oder n*m

aber wieso nehme ich hier auch an, dass r€ rad a ist?
Weil dies ist ja "mehr", als nur anzunehmen, dass r€R ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Das mit dem r ist eben das, was man zeigen muss.
Die Summer zweier Elemente eines Ideals muss wieder im Ideal liegen.

Wie wir k wählen müssen, werden wir dann sehen, wenn wir wissen, wie eigentlich aussieht.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
k müsste =n*m sein
da ich bei Einsetzen in den Binominallehrsatz dann soetwas habe:

Summe von v=0 bi n*m (n*m über v) x^n*m-v * r^v

und für v=0 fällt r weg und ich habe u.a. x^n*m stehen was so viel ist wie (x^n)^m und x^n €a


Aber leider steht da ja immer noch mehr, also werde ich dies wohl kaum so begründen können,oder?

also allg. ist das ja ausgeschrieben so:

(x+r)^k= x^k-v * r^v
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Wie komme ich jetzt weiter?
Vielleicht könntest du mir noch weiter helfen?Das wäre sehr nett.
Danke für deine bisherige Hilfe und Geduld.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
ist definitiv viel zu groß. Raten muss man hier nicht. Augenzwinkern

Gut, um das zu ordnen:
Einen Binomialkoeffizienten gibt es in beliebigen Ringen nicht, sogar so etwas wie muss es ja nicht mal geben, da wir nicht wissen, ob ist.
Aber auf jeden Fall tauchen beim Ausmultiplizieren von nur Summanden der Form in gewissen Vielfachheiten auf und nur das interessiert uns.

Damit nun in ist, wäre es günstig, wenn jeder einzelne der Summanden in ist.
Für steht da . Hinreichend dafür, dass ist, ist .
Schauen wir uns einen beliebigen der Summanden an:
Damit ist, sollte mindestens einer der Faktoren in sein, also wäre es hinreichend, wenn oder ist.

Wie können wir nun wählen, so dass für alle eines davon erfüllt ist?

PS: Und lass mir Zeit! Ich mache das hier nebenbei und Drängeln motiviert mich bestimmt nicht. – Wenn ich Feierabend mache, sage ich das.

PPS: Das Ausmultiplizieren von , ebenso wie der obige Schluss funktionieren nur, weil kommutativ ist. Das ist wichtig!
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
k müsste m+n sein
dann ist x^m+n-v= x^n und dies ist in a.
Da a Ideal ist, sind alle Produkte von diesem Element mit Ringelementen ebenfalls in a.
Folglich ist dann auch (x+r)^k für k=m+n in a.

Damit ist dann also gezeigt dass rad a ideal von R ist.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Zitat:
Original von Elise22
k müsste m+n sein
dann ist x^m+n-v= x^n und dies ist in a.

Wie das? m und n sind fest, v dagegen läuft von 0 bis k.

k=m+n ist eine gute Wahl, aber die Begründung ist nicht nachvollziehbar.

Wie gesagt, es ist zu zeigen dass immer oder ist.
Elise22 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
v ist größer gleich m
und k müsste dann n+m sein und wenn dort etwas größer gleich m abgezogen wird, kommt dann etwas heraus was gleich n ist.

ist dies eine richtige begründung?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals ist Ideal
Zitat:
v ist größer gleich m

Das ist einfach mal falsch.
ist ein Summationsindex, der von 0 bis k läuft.
unglücklich

Mache ein Fallunterscheidung, ob oder ist.

Ich mach für heute Feierabend.

Ciao,
Reksilat.
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