Integralkurven[Diff'geom.]

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Idiot Auf diesen Beitrag antworten »
Integralkurven[Diff'geom.]
Hallo,

Ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen:
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und X ein Vektorfeld auf M. Zeige, dass die Integralkurven von X immersierte Untermannigfaltigkeiten sind, aber nicht unbedingt Untermannigfaltigkeiten, welche M zerlegen.

Soweit ich die Aufgabe verstehe, soll ich zeigen, dass das Bild einer Integralkurve eine Untermmanigfaltigkeit von M sind.
Wie kann man denn das Bild als Teilmenge von M zu einer Mannigfaltigkeit machen, s.d. die Inklusionsabbildung eine glatte Immersion ist?

Das muss doch irgendwie vom Raum M geerbt werden. Aber ich sehe nicht so recht, wie man das konstruieren könnte.

Was ist mit dem 2.Teil der Aufgabe(Zerlegung von M) gemeint?

Viele Grüße
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Könntest du noch eure Definition einer immersierten UM geben?

2. Teil: Eine Zerlegung einer Menge ist einfach eine Kollektion von Teilmengen der Menge, sodass jeder Punkt der Menge in genau einer Teilmenge liegt.

Wink
 
 
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Also wir haben immersierte UM folgendermaßen definiert:

Also wenn M,N Mannigf. und j:N->M eine injektive immersion, so ist N eine immersierte UM von M

irgendwie schreibt unser Prof. die Aufgaben sehr ungenau auf. Da ich mit obiger definition nicht weis was von mir verlangt ist, so habe ich die definition im Buch von John M. Lee nachgeschlagen. Hier wird verlangt, dass N eine Teilmenge ist und die inklusion eine glatte immersion.


Gruß
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also wenn M,N Mannigf. und j:N->M eine injektive immersion, so ist N eine immersierte UM von M


Damit kann man doch arbeiten! Zeige also, dass jede Integralkurve eine injektive Immersion ist (Lee's Definition ist äquivalent).

Immersion ist ziemlich trivial (man sollte allerdings noch fordern, dass das Vektorfeld nirgens verschwindet, denke ich).

Wink
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich konnte zeigen, dass die Integralkurven immersionen sind, vorausgesetzt dass das Vektorfeld nicht verschwindet.

Aber irgendwie glaube ich nicht, dass die Integralkurven injektiv sein müssen. Mir fällt zwar spontan kein beispiel ein, aber theoretisch kann eine Integralkurve doch periodisch sein, oder?

Demnach glaube ich, dass man injektivität nicht zeigen soll bzw. kann.

Aber wie sieht das nun mit der Zerlegung von M aus? Also ich glaube, dass die MF M zerlegt wird von den maximalen Integralkurven, da jeder Wert in M zu genau einer max. Integralkurve gehört. Andernfalls "klebt" man beide Integralkurven zusammen, was der Maximalität widersprechen würde.

Ist die Aussage der Beh jetzt nur dann richtig, wenn man alle Integralkurven zulässt (d.h. eine Zerlegung durch alle integralkurven betrachtet)?
Also z.B. solche Konstruktionen erlaubt:

Sei und das zugehörige Vektorfeld .
Dann sind alle zugehörigen Integralkurven am Punkt (a,b) der Form
c(t)=(a+t,b) nun könnte man c(t) jeweils einschränken und es bliebe eine Integralkurve.
Somit kann man c einmal auf (-1,1) einmal auf (-2,2) einschränken und beide enthielten den Punkt (a,b). Und somit wäre der Punkt (a,b) in streng genommen zwei verschiedene immersierte Untermannigfaltigkeiten enthalten.
Ich hoffe die Idee ist -wenn auch salopp formuliert- verständlich.

Grüße
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber irgendwie glaube ich nicht, dass die Integralkurven injektiv sein müssen. Mir fällt zwar spontan kein beispiel ein, aber theoretisch kann eine Integralkurve doch periodisch sein, oder?


Da hast du recht. Es kann tatsächlich vorkommen, dass die Integralkurven periodisch sind.

Da hab ich dich in die falsche Richtung geschickt: Es muss eigentlich nur eine Topologie und glatte Struktur auf den Kurven geben, so dass die Inklusionsabbildung eine injektive Immersion ist (d.h. man muss hier nicht die Teilraumtopologie verwenden).

Ist allerdings die Kurve das Bild einer injektiven Immersion, so ist die Kurve automatisch eine immersierte Unterm'keit (man nimmt dazu einfach diejenige glatte Struktur auf der Bildmenge, für welche die Immersion ein Diffeomorphismus ist).

Ist eine Integralkurve nicht injektiv, so kann man trotzdem dazu benutzen dem Bild eine glatte Struktur zu geben.

Dazu benutzt du, dass die Kurve periodisch mit irgendeiner kleinsten Periode p ist, und definierst dann die Struktur so, dass jeweils die Einschränkung für natürliche k ein Diffeomorphismus ist (man muss natürlich zeigen, dass das wirklich eine glatte Struktur induziert).

Edit: Im Prinzip kannst du oben auch einfach nur einmal k=0 wählen (die beiden Karten überdecken dann ja schon die Kurve).

Mit der Zerlegung dürften die maximalen Integralkurven gemeint sein.
Idiot Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich eine Fallunterscheidung machen!

Nunja, ist injektiv ung glatt (Und eine Immersion). Das sehe ich.
reicht das nicht, damit dies schon eine UM ist?

Wenn nicht, kannst du mir einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass die Umkehrabbildung ebenso stetig diffbar ist?

Gruß
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
reicht das nicht, damit dies schon eine UM ist?


Nein.

Zitat:

Wenn nicht, kannst du mir einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass die Umkehrabbildung ebenso stetig diffbar ist?


Das kann ich nicht. Mit der Topologie von M ist das nämlich i.A. nicht richtig. Ich denke du hast den springenden Punkt noch nicht ganz gesehen.

Nochmal: Sie eine Integralkurve, wobei I das maximale Existenzintervall ist. Du musst nun zeigen, dass eine immersierte UM ist.

Dazu habe ich dir geraten, eine Topologie und Struktur auf zu definieren, so dass die Einschränkungen von Gamma jeweils (lokale) Diffeomorphismen auf ihr Bild sind.

Danach zeigst du, dass die Inklusion eine injektive Immersion ist.

Ein Teil der Aufgabe ist es ja, zu zeigen, dass nicht jede immersiert UM auch eine eingebettete UM ist. Folglich wird man im allgemeinen nicht die Unterraumtopologie von M verwenden können. Das heisst aber auch, dass es in diesem Falle nicht so ganz trivial ist, dass die Inklusion glatt (bzw. überhaupt stetig) ist. Dazu geht man dann aber über die Karten , welche man zur Definition der Struktur benutzt:

Denn lokal gilt:

bzw.
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