Extremwertproblem

09.01.2011, 16:59	Mary1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem Meine Frage: Welches Rechteck mit dem Flächeninhalt 64 cm^2 hat den kleinsten Umfang? Meine Ideen: Meine Ansätze: Hauptbedingung: $\begin{eqnarray} U = 2(a+b) \end{eqnarray}$ Nebenbedingung: $\begin{eqnarray} A = ab = 64cm^{2} \end{eqnarray}$ Zielfunktion: $\begin{eqnarray} ab = 64cm^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac{64}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U = 2a2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U = 2(\frac{64}{b}) + 2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U(b) = \frac{128}{b} + 2b \end{eqnarray}$ Extremstellen: $\begin{eqnarray} U'(b) = \frac{128}{b^{2}} + 2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b^{2} = 130 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = 11,4 \end{eqnarray}$ Nachweis: $\begin{eqnarray} U''(b)= 128b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U''(11,4) = 34 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 34 > 0 \end{eqnarray*}$ Also: Lokales Minimum T (34;71) Sind meine Rechnungen richtig? Und wenn ja, wo ist der Bezug zur Aufgabenstellung? Was muss ich als nächstes machen? Ich würde mich sehr über Hilfestellungen freuen! Danke im Voraus.
09.01.2011, 17:04	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U'(b) = -\frac{128}{b^2} + 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U'(b) = 0 \Rightarrow x_1= 8, x_2 = -8 \end{eqnarray}$ -8 macht in dieser Aufgabenstellung keinen Sinn, als $\begin{eqnarray} x=8 \end{eqnarray}$ . Also musst das Rechteck eine Seitenlänge von 8cm haben, damit es bei 64cm² Oberfläche den kleinsten Umfang hat. Warum deine Ableitung falsch ist: $\begin{eqnarray} U(b) = \frac{128}{b} + 2b = 128b^{-1} + 2b \end{eqnarray}$ Bis auf den Vorzeichenfehler hast du alles richtig gerechnet.
09.01.2011, 17:11	Mary1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, aber ich kann den Rechenschritt: $\begin{eqnarray} U'(b) = -\frac{128}{b^{2} } +2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U'(b) = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 8 \end{eqnarray}$ Nicht ganz nachvollziehen! Wie muss ich die Gleichung umstellen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »