Erwartungswert

09.01.2011, 17:40

lili23

Erwartungswert

Hi,

der Erwartungswert ist so definiert :

$\begin{eqnarray*} E(X):=\int\limits_{\Omega} X \,dP \end{eqnarray*}$ .

Wir haben den jetzt fast immer so berechnet :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x*f(x) dx \end{eqnarray*}$

Ich frag mich nur wieso. Dazu hab ich mal bei Wikipedia geguckt und dort steht folgendes:

"Hat eine reelle Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, das heißt hat das Bildmaß PX diese Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb R} x*f(x) d\lambda(x) \end{eqnarray*}$ "

Das versteh ich aber nicht. Was heißt, hat das Bildmaß $\begin{eqnarray*} P_x \end{eqnarray*}$ diese Dichte bzgl. dem Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

Könnte ich den Erwartungswert denn auch

$\begin{eqnarray*} E(X):=\int\limits_{\Omega} X \,dP \end{eqnarray*}$ damit berechnen?

verwirrt

09.01.2011, 17:46

Math1986

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Das kommt letzten Endes sowiso auf das selbe hinaus..

$\begin{eqnarray*} \int\limits_\Omega \end{eqnarray*}$ bezeichnet hier das Integral über Omega, definiert ist das eben über die Lebesgue-Dichte
Um $\begin{eqnarray*} E(X):=\int\limits_{\Omega} X \,dP \end{eqnarray*}$ berechnen zu können, musst du über die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Transformation in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ machen.

Ansonsten schau dir die Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte nochmal an

09.01.2011, 17:58

lili23

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Zitat:

Original von Math1986
Das kommt letzten Endes sowiso auf das selbe hinaus..

Das hab ich mir gedacht Augenzwinkern

Zitat:

Original von Math1986
$\begin{eqnarray*} \int\limits_\Omega \end{eqnarray*}$ bezeichnet hier das Integral über Omega, definiert ist das eben über die Lebesgue-Dichte

Wieso ist das denn definiert über die Lebesgue Dichte, da steht doch $\begin{eqnarray*} X dP \end{eqnarray*}$ , und nichts von $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Math1986
Um $\begin{eqnarray*} E(X):=\int\limits_{\Omega} X \,dP \end{eqnarray*}$ berechnen zu können, musst du über die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Transformation in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ machen.

Wie geht denn das? Kannst du die Schritte vielleicht posten? Muss man das dP dann ersetzen?

09.01.2011, 18:11

Math1986

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Wie man das macht hast du doch bereits gepostet:

Zitat:

Original von lili23
Wir haben den jetzt fast immer so berechnet :

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x*f(x) dx \end{eqnarray*}$

Der hier zu Grunde liegende Integral-Begriff ist nunmal das Lebesgue-Integral

Siehe auch [Artikel] Idee des Lebesque-Integrals

09.01.2011, 18:50

lili23

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Aber kann man denn ein Integral wo dP hinter steht auch so berechnen wie man das gewohnt ist vom Riemann Integral, oder muss man das immer erst umschreiben auf ein Integal mit Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2011, 18:55

Math1986

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Zitat:

Original von lili23
Aber kann man denn ein Integral wo dP hinter steht auch so berechnen wie man das gewohnt ist vom Riemann Integral, oder muss man das immer erst umschreiben auf ein Integal mit Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

Wie bist du das denn gewohnt?

Prinzipiell hängt das vom Omega ab

09.01.2011, 19:20

lili23

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Ja also , wenn ich jetzt irgendeine Funktion integriere mit Lebesgue -Maß , wie bei dem Erwartungswert, dann kann ich doch die normalen Integratiosregeln verwenden, also zb aus x wird x^2/2 usw. Wenn es aber ein Integral ist zum Maß dP macht das doch nicht viel Sinn, dann muss man das doch immer umformulieren.

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