Bijektion und Normalisator

10.01.2011, 10:22

schmouk

Bijektion und Normalisator

Hallo, komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei G eine Gruppe und H Untergruppe von G. Sei

$\begin{eqnarray*} N_G(H):=\{g\in G \vert gHg^{-1}=G\} \end{eqnarray*}$ . Wir nennen $\begin{eqnarray*} N_G(H) \end{eqnarray*}$ den Normalisator von H in G.

Zeige, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen $\begin{eqnarray*} \{gN_G(H)\vert g\in H\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{gHg^{-1}\vert g\in G\} \end{eqnarray*}$ gibt.

Für Anregungen mal wieder dankbar.

Grüße,

Kevin

10.01.2011, 10:25

kiste

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RE: Bijektion und Normalisator

Zitat:

Original von schmouk
$\begin{eqnarray*} N_G(H):=\{g\in G \vert gHg^{-1}=G\} \end{eqnarray*}$ .

Sicher?

Versuche doch halt einmal die natürliche Wahl der Abbildung, $\begin{eqnarray*} gN_G(H) \mapsto gHg^{-1} \end{eqnarray*}$

10.01.2011, 12:45

schmouk

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Oje, natürlich heißt es $\begin{eqnarray*} N_G(H):=\{g\in G \vert gHg^{-1}=H\} \end{eqnarray*}$ , vertippt Augenzwinkern

Ja doch das passt: Denn sind $\begin{eqnarray*} gHg^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'Hg'^{-1} \end{eqnarray*}$ gleich, folgt

$\begin{eqnarray*} H=g^{-1}g'Hg'^{-1}g=g^{-1}g'H(g^{-1}g')^{-1} \end{eqnarray*}$ womit $\begin{eqnarray*} g^{-1}g'\in N_G(H) \end{eqnarray*}$ . Mit dem Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen ist dann $\begin{eqnarray*} gN_G(H)=g'N_G(H) \end{eqnarray*}$ also ist die Abbildung injektiv. Surjektiv ist dann klar.

Stimmt das?

10.01.2011, 14:43

kiste

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Es fehlt der Nachweis dass dies wirklich eine Abbildung ist.

06.08.2011, 13:11

mathinitus

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RE: Bijektion und Normalisator

Zitat:

Original von schmouk
Zeige, dass es eine Bijektion zwischen den Mengen $\begin{eqnarray*} \{gN_G(H)\vert g\in H\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{gHg^{-1}\vert g\in G\} \end{eqnarray*}$ gibt.

Ist $\begin{eqnarray*} \{gN_G(H)\vert g\in H\} \end{eqnarray*}$ nicht einelementig, da $\begin{eqnarray*} H\subset N_G(H) \end{eqnarray*}$ ?

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