erwartungtreuer schätzer

10.01.2011, 12:50

Riemannson

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erwartungtreuer schätzer

sei $\begin{eqnarray*} X_i \sim N(\theta,1),\theta\in \mathbb R, a_i \in \mathbb R, \overline \theta=\sum_{i=1}^n a_iX_i \end{eqnarray*}$

1. wie muss $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ gewählt werden damit $\begin{eqnarray*} \overline \theta \end{eqnarray*}$ erwartungstreu ist?
2. durch welche wahl von $\begin{eqnarray*} a_i \text { wird } E_\theta (\overline \theta-\theta)^2 \end{eqnarray*}$ minimiert? (vorraussetzung ist die erwartungstreue)

zu 1.) es muss also gelten $\begin{eqnarray*} E({\overline \theta)}=\theta \end{eqnarray*}$ dann sind doch alle a=1 denn die summe von normalverteilten zufallsvariablen ist ja wieder
normalverteilt und dann ist der erwartungswert der summe doch eben wieder $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ oder nicht?? verwirrt

verwirrt

zu 2.) keine ahnung kann jmd helfen?

10.01.2011, 16:38

Riemannson

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zu 1.) $\begin{eqnarray*} a_i=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ das ist dann der empirische mittelwert und der ist doch erwartungstreu oder? denn es ist ja dann $\begin{eqnarray*} E(\overline \theta)=\mu=\theta \end{eqnarray*}$

10.01.2011, 16:43

René Gruber

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Zitat:

Original von Riemannson
dann sind doch alle a=1

So geschrieben stimmt das nicht, und ich kann mir auch schlecht vorstellen, dass du es so gemeint hast. Also versuch nochmal, die Bedingung an die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ für Erwartungstreue so zu formulieren, dass es unmissverständlich ist.

10.01.2011, 16:48

Riemannson

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Zitat:

Original von Riemannson
zu 1.) $\begin{eqnarray*} a_i=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

wie siehts denn damit aus?

10.01.2011, 16:51

René Gruber

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Das ist nur eine spezielle Wahl der $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ , für die dann Erwartungstreue gilt.

In 1. geht es m.E. aber darum, alle erwartungstreuen Schätzer dieser Art zu charakterisieren, und da gibt es nicht nur die mit "gleichverteilten" Gewichten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ . Das dient auch und gerade der Vorbereitung für Teilaufgabe 2. !

10.01.2011, 16:59

Riemannson

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okay! ist aber $\begin{eqnarray*} E(\overline \theta)=\theta \end{eqnarray*}$ als kriterium richtig?

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10.01.2011, 17:03

René Gruber

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Genau, das und nur das ist das Kriterium für Erwartungstreue. Den obigen Ansatz für $\begin{eqnarray*} \overline{\theta} \end{eqnarray*}$ eingesetzt und umgeformt ergibt sich die Bedingung für die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ .

10.01.2011, 17:10

Riemannson

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super, also: $\begin{eqnarray*} E(\sum_{i=1}^n a_i X_i)=\theta=\sum_{i=1}^n a_i E(X_i)=\sum_{i=1}^n a_i\theta=\theta \sum_{i=1}^n a_i \Rightarrow \sum_{i=1}^n a_i=1 \end{eqnarray*}$ ich hoffe das ist richtig?

(bin erstmal für 3 std. weg!)

10.01.2011, 18:09

René Gruber

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Ja, ist richtig - das und nur das wird von den $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ gefordert in Hinblick auf Erwartungstreue.

So wäre z.B. im Fall n=2 auch die Wahl von $\begin{eqnarray*} a_1=3,a_2=-2 \end{eqnarray*}$ möglich, auch wenn diese Wahl im Sinne einer geringen Schätzvarianz zu Recht als ziemlich abwegig gelten dürfte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2011, 20:35

Riemannson

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als nächstes muss $\begin{eqnarray*} E[(\overline \theta -\theta)^2] \end{eqnarray*}$ minimal werden!

$\begin{eqnarray*} E[(\overline \theta -\theta)^2]=E[(\sum_{i=1}^n a_i X_i-\theta)^2]=E[(\sum_{i=1}^n a_i X_i)^2-2\theta\sum_{i=1}^n a_i X_i+\theta^2]=E[(\sum_{i=1}^n a_i X_i)^2]-2\theta E[\sum_{i=1}^n a_i]\cdot E[\sum_{i=1}^n X_i]+\theta^2=E[(\sum_{i=1}^n a_i X_i)^2]-\theta^2 \end{eqnarray*}$ und nun verwirrt

verwirrt

10.01.2011, 20:43

René Gruber

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Manchmal ist die Alternativ-Berechnungsformel für die Varianz günstiger (siehe anderer Thread), manchmal aber wie hier das Original. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde daher lieber so rangehen: Wir betrachten hier nur erwartungstreue Schätzer, es ist also $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i=1 \end{eqnarray*}$ , damit folgt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i X_i - \theta = \sum_{i=1}^n a_i X_i - \theta\cdot \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_i (X_i - \theta) \end{eqnarray*}$ ,

und bei der dann folgenden Rechnung kann man sich $\begin{eqnarray*} X_i-\theta\sim \mathcal{N}(0,1) \end{eqnarray*}$ zunutze machen.

P.S.: Ich will deine Rechnung nicht abwürgen, aber so wie du sie jetzt angelegt hast, artet das ganze in einen ziemlichen Formelwust aus, deswegen die hier eben vorgetragenen Tipps zur Bändigung solcher Auswüchse. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2011, 20:57

Riemannson

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okay so sieht es schon einfacher aus, also $\begin{eqnarray*} E[(\sum_{i=1}^n a_iX_i-\theta)^2]=E[(\sum_{i=1}^n a_i(X_i-\theta))^2] \end{eqnarray*}$

doch was mir immernoch verborgen ist wie ich $\begin{eqnarray*} X_i-\theta \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ nutze?

10.01.2011, 21:26

René Gruber

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Na das Ausmultiplizieren des Quadrates musst du schon durchführen, also in der Art

$\begin{eqnarray*} E\left[ \left(\sum_{i=1}^n a_i(X_i-\theta) \right)^2 \right] = \ldots = \sum_{i=1}^n a_i^2 E\left[ (X_i-\theta)^2 \right] + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} a_ia_j E[ X_i-\theta] E[ X_j-\theta] \end{eqnarray*}$ ,

was sich dann ziemlich einfach berechnen lässt mit der Normalverteilungsinformation. Bei den "gemischten Termen" wird oben benutzt, dass $\begin{eqnarray*} X_i,X_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

10.01.2011, 21:43

Riemannson

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Zitat:

Original von René Gruber
$\begin{eqnarray*} E\left[ \left(\sum_{i=1}^n a_i(X_i-\theta) \right)^2 \right] = \ldots = \sum_{i=1}^n a_i^2 E\left[ (X_i-\theta)^2 \right] + 2\sum_{1\leq i<j\leq n} a_ia_j E[ X_i-\theta] E[ X_j-\theta] \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} =\sum_{i=1}^n a_i^2+2\sum_{1\le i<j\le n}a_ia_j \end{eqnarray*}$ richtig?

10.01.2011, 21:45

René Gruber

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Nein: Wie groß ist denn $\begin{eqnarray*} E[ X_i-\theta] \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2011, 21:45

Riemannson

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obwohl $\begin{eqnarray*} E[X_i-\theta]=0 \end{eqnarray*}$ oder?

10.01.2011, 21:46

René Gruber

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So ist es. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2011, 21:49

Riemannson

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dann bleibt nur $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i^2 \end{eqnarray*}$ übrig! dann muss $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ möglichst klein sein also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

10.01.2011, 21:54

René Gruber

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Streng genommen ist es eine Optimierungsaufgabe

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i^2 \to \min \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a_i = 1 \end{eqnarray*}$ .

Exakt begründen kann man die Minimaleigenschaft der tatsächlichen Lösung $\begin{eqnarray*} a_i=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ z.B. mit Hilfe der CSU (nein, nicht Seehofer oder KT).

10.01.2011, 21:57

Riemannson

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super vielen dank!!! Wink

Wink

10.01.2011, 22:33

wisili

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@Riemannson:
Die Aufgabenstellung sollte die benützte Voraussetzung auch nennen: $\begin{eqnarray*} X_i,X_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ unabhängig.

11.01.2011, 09:32

René Gruber

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Z.B. in der Form: $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ ist eine mathematische Stichprobe aus der Grundgesamtheit $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\theta,1) \end{eqnarray*}$ . Wovon ich hiier ausgegangen bin, da das bei einem statistischen Problem dieser Art in der Regel so ist.

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