Fixpunkte stetiger Funktionen |
| 10.01.2011, 13:13 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Fixpunkte stetiger Funktionen Halli Hallo ich hab da mal ne Frage Sei f : [a,b] -> [a,b] eine stetige Funktion Wählen sie eine geeignete Funktion und zeigen sie graphisch für a=0 und b=2 dass es einen Punkt x0 in [a,b] gibt, für den f(x0) = x0 gilt. Meine Ideen: x0 ist ja der fixpunkt von f. aber wie komme ich auf eine funktion? durch ausprobieren? oder gibt es da einen simplen trick 
?danke für eure hilfe |
||||
| 10.01.2011, 14:21 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kann ich einfach die funktion f(x) = y nehmen? wenn ich dann zb. 1 einsetzte dann kommt ja auch 1 wieder raus. stimmt das? |
||||
| 10.01.2011, 14:35 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, wenn Du die Funktion selber wählen kannst, dann ist f(x)=y ein gutes Beispiel, denn dort erfüllen tatsächlich alle Punkte - insbesondere die des Intervalls [0,2] diese Bedingung. Allgemein musst Du halt eine Funktion konstruieren, deren Graph im Intervall [0,2] vom Graphen der Identität geschnitten wird. Die x-Werte dieser Schnittpunkte sind deine gesuchen Werte . lg, dr.morrison. |
||||
| 10.01.2011, 14:36 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
entschuldigung, muss natürlich f(x)=x heißen!!! |
||||
| 10.01.2011, 14:37 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: dr.morrison: Du kannst editieren, anstatt einen Doppelpost zu verfassen! Nein, so nicht. Es hat ja nicht jede stetige Funktion unbedingt einen Fixpunkt. In der Angabe heisst es ja auch: Wähle eine geeignete Funktion. Also versuche eine solche zu erstellen, welche in [0;2] einen Fixpunkt besitzen könnte ... mY+ |
||||
| 10.01.2011, 14:40 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also eine die nur einen fixpunkt hat? und nicht so wie f(x)=x unendlich viele? |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 10.01.2011, 14:42 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das wäre besser. Bei der identischen Funktion ist das ja trivial (und wäre wahrscheinlich nicht im Sinne des Aufgabenstellers). mY+ |
||||
| 10.01.2011, 14:43 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x) = hätte weniger fixpunkte, nämlich nur in 0 und 1 ... eine bessere fällt mir nicht ein |
||||
| 10.01.2011, 14:48 | dr.morrison | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ mythos: Tja, hab ich wohl verpennt, das mit dem editieren ... @ hai: Die quadratische Normalfunktion ist keine Abbildung [0,2]->[0,2]!!! Du musst dir eine solche Funktion, die nicht trivial ist konstruieren. Ein Tipp: Mit quadratischen Fkt bis du auf dem richtigen Weg, denn die sind als Polynomfunkt. stetig. Probiere mal den Ansatzf(x)=y=ax²+bx +c mit den folgenden Bedingungen f(0)=f(2)=0. Überlege Dir nun, wie du f(1) wählen musst, dass f:[0,2]->[0,2] gilt. Und dann zeichne mal den Graphen der Fkt und der Identität! lg, dr.morrison |
||||
| 10.01.2011, 14:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mache die Parabel etwas flacher, dann geht's. mY+ |
||||
| 10.01.2011, 14:55 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso geht das? |
||||
| 10.01.2011, 15:05 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
.. weil es davon zwei Fixpunkte in [0; 2] gibt. WIE rechnet man eigentlich allgemein die Fixpunkte einer Funktion aus? _______________________ Du kannst durchaus auch den Tipp von dr.morrison aufgreifen. mY+ |
||||
| 10.01.2011, 15:11 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x0 ist ein fixpunkt wenn f(x0) = x0 ist |
||||
| 10.01.2011, 15:19 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun, führe das mal für die angegebene Parabel durch. Aus dem Graph solltest du ja auch schon den/die Fixpunkt(e) erkennen können. mY+ |
||||
| 10.01.2011, 15:25 | hai1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja
irgendwie sah das in meiner zeichnung anders aus ... wohl etwas ungenau gezeichnet. vielen dank jetzt muss ich nun diese aufgabe lösen: Führen sie den beweis für die Aussage in a) allgemein unter verwendung des zwischenwertsatzes und der hilfsfunktion g = f - id. heißt das nun g(x) = -x wenn ich da nun 0 und 2 einsetzte kommt 0 und -2/3 raus. kann ich dann schreiben und bin fertig? |
||||
| 10.01.2011, 15:59 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
g(x) ist noch korrekt. Allerdings hast du offenbar den zweiten Fixpunkt falsch, den g(x0) muss auch an dieser Stelle Null werden! Du hast noch immer nicht die Rechnung für den Fixpunkt gezeigt! mY+ |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
