Fundamentalsystem

22.11.2006, 17:21	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Fundamentalsystem Ich soll ein Fundamentalsystem zu folgendem Differentialgleichungssystem: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1/t & e^{t^3/3} & 0 \\ 0 & 1/t & t^3 \\ 0 & 0 & t^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_3'=t^2y_3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_3=e^{t^3/3+A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_2'=y_2/t+t^3y_3=y_2/t+t^3e^{t^3/3+A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_2=t(e^{t^3/3+A}+D) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} => y_1'=y_1/t+\frac{y_2}{e^{t^3/3}}=y_1/t+te^A+\frac{Dt}{e^{t^3/3}} \end{eqnarray*}$ Doch wie gehe ich weiter vor? Wäre für weitere Tipps sehr dankbar.
22.11.2006, 17:37	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem Das ist bei der Hochschule besser aufgehoben. * verschoben *
22.11.2006, 20:40	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fundamentalsystem Zunächst einmal folgende Frage: Lautet der Eintrag in der 1. Zeile, 2. Spalte der Matrix $\begin{eqnarray} e^{-t^3/3} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{t^3/3} \end{eqnarray}$ ? So wie es jetzt ist, widerspricht sich deine Differentialgleichung für $\begin{eqnarray} y_1(t) \end{eqnarray}$ mit der Matrixdarstellung.
22.11.2006, 23:37	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja du hast Recht. Ich hab das Minus vergessen: $\begin{eqnarray} e^{-t^3/3} \end{eqnarray}$
23.11.2006, 15:17	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also fangen wir mal so an. Die Struktur der Matrix erlaubt es, die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray} (y_1,y_2,y_3) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y_3 \end{eqnarray}$ ausgehend zu berechnen. Leider bringt einem das nichts Verwertbares. Stattdessen solltest du zunächst versuchen, eine spezielle Lösung zu finden, indem du die Integrationskonstanten speziell wählst (funktioniert ganz gut, hab ich selbst schon probiert). Dann könntest du auf der Grundlage dieser speziellen Lösung die sogenannte d'Alembert-Reduktion machen, welche dein System auf 2 DGLen reduziert. Dann kannst du wieder eine spezielle Lösung berechnen und erneut eine Reduzierung machen (falls nötig)! Als letztes bleibt noch nachzuprüfen, ob deine 3 speziellen Lösungen tatsächlich ein Fundamentalsystem bilden, d.h. ob sie linear unabhängig sind!!! Wegen der d'Alembert-Reduktion schau mal in "W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen"
23.11.2006, 17:52	Asnnah	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir! Hab es jetzt gelöst!
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