Permutation für die alternierende harmonische Reihe

22.11.2006, 17:22

Frooke

Permutation für die alternierende harmonische Reihe

Hallo!

Ich habe da ein bemerkenswertes Lemma...

$\begin{eqnarray*} \forall~\mathrm L \in \mathbb R~\exists~\mathrm p: \mathbb N\to\mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm p(n)-1}\frac{1}{\mathrm p(n)}=\mathrm L \end{eqnarray*}$

...und eine Frage bezüglich Anwendung:

Gibt es irgendwelche Methoden zur Findung einer Permutation in Abhängigkeit von L?

Wenn ich also beispielsweise die Euler'sche Zahl wähle, so müsste ich ja eine Permutation p finden, so dass folgende Aussage stimmt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm p(n)-1}\frac{1}{\mathrm p(n)}=\mathrm e \end{eqnarray*}$

Wäre schön, wenn jemand eine Idee hat! Wink

22.11.2006, 18:45

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Zitat:

Original von Frooke
Gibt es irgendwelche Methoden zur Findung einer Permutation in Abhängigkeit von L?

Ja, die gibt es. Die Aussage lässt sich übrigens zu einer noch viel bemerkenswerteren Aussage verallgemeinern:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe, die nicht absolut konvergiert. Dann lässt sich für jede reelle Zahl $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine Permutation $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ der natürlichen Zahlen finden, so dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{\pi(n)} = L \end{eqnarray*}$

gilt.

Der Beweis für diesen allgemeineren Fall ist auch nicht komplizierter als für deinen Spezialfall oben.

22.11.2006, 19:38

Frooke

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Vielen Dank für die Antwort! Ist echt ein faszinierender Satz geschockt

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ja, die gibt es.

Könntest Du das noch etwas ausführen? Augenzwinkern

22.11.2006, 19:45

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Bin gerade dabei... smile

Zerlege die Indexmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} = U \cup V \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} a_k\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_k< 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in V \end{eqnarray*}$ gilt. Dann gilt nach der Voraussetzung der Konvergenz, aber nicht absoluten Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k\in U} a_k = +\infty,\qquad \sum\limits_{k\in V} a_k = -\infty \qquad (*) \end{eqnarray*}$

(summiert gemäß aufsteigenden Indizes). Wir "basteln" nun unsere Wunschreihe mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ auf die m.E. durchaus natürliche Weise:

Start ist, na klar, bei Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_0:=0 \end{eqnarray*}$ und wir legen Indexmengen $\begin{eqnarray*} U_0:=U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_0:=V \end{eqnarray*}$ fest.

Zu irgendeinem Zeitpunkt seien wir bei Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ mögen die zu diesem Zeitpunkt noch nicht "verbratenen" Indizes der Originalreihe beinhalten. Jetzt gibt es zwei Fälle:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} s_n \leq L \end{eqnarray*}$

Dann bedienen wir uns aus $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ , und zwar beim kleinsten Index davon, also $\begin{eqnarray*} k = \min U_n \end{eqnarray*}$ und setzen $\begin{eqnarray*} b_{n+1} := a_k \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} s_{n+1} = s_n+b_{n+1} \end{eqnarray*}$ und passen die Indexmengen an: $\begin{eqnarray*} U_{n+1} := U_n\setminus\{k\} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V_{n+1} := V_n \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: $\begin{eqnarray*} s_n > L \end{eqnarray*}$

Hier bedienen wir uns aus $\begin{eqnarray*} V_n \end{eqnarray*}$ , wieder beim kleinsten Index $\begin{eqnarray*} k = \min V_n \end{eqnarray*}$ , setzen auch wieder $\begin{eqnarray*} b_{n+1} := a_k \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} s_{n+1} = s_n+b_{n+1} \end{eqnarray*}$ und passen die Indexmengen an: $\begin{eqnarray*} U_{n+1} := U_n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V_{n+1} := V_n\setminus\{k\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ die gewünschte Reihe, was natürlich noch zu beweisen ist - aber das kriegst du hin. Augenzwinkern

Bei diesen Verfahren ist nämlich folgendes gewährleistet: Es kommt wegen (*) zu unendlich vielen "Wechseln" zwischen diesen Fällen, es existiert also eine Index-Folge $\begin{eqnarray*} (n_m) \end{eqnarray*}$ mit entweder $\begin{eqnarray*} s_{n_m-1} \leq L < s_{n_m} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s_{n_m-1} > L \geq s_{n_m} \end{eqnarray*}$ ...

Ich hab auch echt Probleme, das kurz und griffig aufzuschreiben, ist wohl auch gar nicht so einfach. Aber ich denke, das Grundprinzip ist klar. Kannst das ja mal an der alternierenden harmonischen Reihe bei irgendeinem selbstgewählten $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ausprobieren.

22.11.2006, 20:00

Frooke

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich hab auch echt Probleme, das kurz und griffig aufzuschreiben, ist wohl auch gar nicht so einfach. Aber ich denke, das Grundprinzip ist klar. Kannst das ja mal an der alternierenden harmonischen Reihe bei irgendeinem selbstgewählten $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ausprobieren.

Also ich finde die Erklärung super anschaulich (vielen Dank!!!) (das Prinzip ist ja eigentlich naheliegend: Mann rennt bis über's Ziel hinaus, rennt dann zurück, wieder zu weit, dann wieder vorwärts, usw. - wenn ich das richtig verstehe).

Ich werde meine Versuche mit der harmonischen Reihe noch posten (aber wohl nicht mehr heute...).

Besten Dank für Deine Hilfe Freude

22.11.2006, 20:55

sqrt(2)

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Ich muss mich auch bedanken. Wir haben in der Vorlesung nämlich nur bewiesen, dass wenn eine Reihe $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert, dass auch $\begin{eqnarray*} \textstyle\sum_{k=1}^\infty a_{\sigma(n)} \end{eqnarray*}$ für jede Bijektion $\begin{eqnarray*} \sigma: \mathbb{N}\to\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert. Für nicht absolut konvergente Reihen ist mir nur kein offensichtliches Gegenbeispiel eingefallen...

Ich kann Frooke nur wiederholen: Sehr anschaulich erklärt, danke. smile

25.11.2006, 17:00

Frooke

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RE: Permutation für die alternierende harmonische Reihe
Hatte erst jetzt kurz einen Moment, den Thread wieder auszugraben, sorry:

Ich nehme also mal «meine» Reihe von oben und will damit eine Darstellung für die Euler'sche Zahl finden:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{\mathrm p(n)-1}\frac{1}{\mathrm p(n)}=\mathrm e \end{eqnarray*}$

Die Indexmenge habe ich wiefolgt zerlegt:

$\begin{eqnarray*} U:=\left\{2n|n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V:=\left\{2n-1|n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} U\cup V=\mathbb N \end{eqnarray*}$

Es gilt also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\in U}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}= -\infty,\qquad \sum\limits_{n\in V} (-1)^{ n-1}\frac{1}{ n} = \infty \end{eqnarray*}$

Wir starten mit der Aufsummierung aus $\begin{eqnarray*} V_0:=V \end{eqnarray*}$ und gelangen dadurch zu Partialsumme $\begin{eqnarray*} s_{129}\approx 2.72045>\mathrm e \end{eqnarray*}$
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} U:=\left\{2n|n\in\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V:=\left\{2n-1|n\in\mathbb N,n>129\right\} \end{eqnarray*}$

Dies ist nun Fall 2, also bedienen wir uns aus $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ , beim kleinsten Index $\begin{eqnarray*} k = \min U_n=2 \end{eqnarray*}$ , setzen $\begin{eqnarray*} b_{4} := -\frac{1}{\mathrm 2} \end{eqnarray*}$ und eben $\begin{eqnarray*} s_{4} = s_{129}-\frac{1}{2}\approx 2.72045-0.5=2.22045 \end{eqnarray*}$

Dann wäre ich in Fall 1, müsste also beim 130. Index weitersummieren, stimmt das so?

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{129}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}+\sum_{n=130}^{350}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}\approx 2.71829 \end{eqnarray*}$

Das ist schon eine recht Gute Annäherung. Jetzt müsste ich ja wieder mit Summanden aus U weitermachen, aber wie finde ich denn so b? verwirrt

25.11.2006, 17:51

sqrt(2)

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RE: Permutation für die alternierende harmonische Reihe

Zitat:

Original von Frooke
Dies ist nun Fall 2, also bedienen wir uns aus $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ , beim kleinsten Index $\begin{eqnarray*} k = \min U_n=2 \end{eqnarray*}$ , setzen $\begin{eqnarray*} b_{4} := -\frac{1}{\mathrm 2} \end{eqnarray*}$ und eben $\begin{eqnarray*} s_{4} = s_{129}-\frac{1}{2}\approx 2.72045-0.5=2.22045 \end{eqnarray*}$

Ich frage mich, wie du auf $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ kommst. Es geht um $\begin{eqnarray*} b_{130} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Frooke
Dann wäre ich in Fall 1, müsste also beim 130. Index weitersummieren, stimmt das so?

Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{129}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}-\frac{1}{2}+\sum_{n=130}^{350}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}\approx 2.71829 \end{eqnarray*}$

Schon, lass mich das deutlich machen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sum_{n=1}^{129}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}}_{b_1+b_2+...+b_{129}} \underbrace{-\frac{1}{2}}_{b_{130}}+\underbrace{\sum_{n=130}^{350}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}}_{b_{131}+b_{132}+...+b_{351}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Frooke
Das ist schon eine recht Gute Annäherung. Jetzt müsste ich ja wieder mit Summanden aus U weitermachen, aber wie finde ich denn so b? verwirrt

Was ist b? Die Permutation p? Die wäre hier

$\begin{eqnarray*} p=\begin{pmatrix}1 & 2 & ... & 129 & 130 & 131 & ... \\ 1 & 3 & ... & 257 & 2 & 259 & ...\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Punkt ist, dass sie existiert, explizit angeben können wirst du sie nicht. Arthur hat sozusagen einen konstruktiven Beweis (ohne Beweis Augenzwinkern

) geliefert, der eine Anleitung gibt, eine entsprechende Folge, über die summiert wird, zu bauen (aus der du für deinen Fall die Permutation ablesen kannst).

Wenn du beweisen willst, dass diese Folge wirklich gegen den erwünschten Grenzwert L konvergiert, so würde ich vorschlagen, zu zeigen, dass es sich bei der Folge der Partialsummen um eine Cauchyfolge handelt (die durch die Indexmengen angegebenen Teilfolgen sind Nullfolgen) und dann einen Widerspruchsbeweis zu verwenden, um den Grenzwert L zu zeigen.

26.11.2006, 13:14

Frooke

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RE: Permutation für die alternierende harmonische Reihe

Zitat:

Original von sqrt(2)
Ich frage mich, wie du auf $\begin{eqnarray*} b_4 \end{eqnarray*}$ kommst. Es geht um $\begin{eqnarray*} b_{130} \end{eqnarray*}$ .

Das war ein Copy-Paste-Fehler Augenzwinkern

Zitat:

Original von sqrt(2)
Schon, lass mich das deutlich machen:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\sum_{n=1}^{129}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}}_{b_1+b_2+...+b_{129}} \underbrace{-\frac{1}{2}}_{b_{130}}+\underbrace{\sum_{n=130}^{350}(-1)^{2n-2}\frac{1}{2n}}_{b_{131}+b_{132}+...+b_{351}} \end{eqnarray*}$

Ja, stimmt.

Zitat:

Original von sqrt(2)
Was ist b? Die Permutation p?

Ja, ich habe die Notation von Arthur verwendet.

Zitat:

Original von sqrt(2)
Der Punkt ist, dass sie existiert, explizit angeben können wirst du sie nicht. Arthur hat sozusagen einen konstruktiven Beweis (ohne Beweis Augenzwinkern

Darauf wollte ich eigentlich hinaus! Dieser Satz eignet sich also für Approximationen und ist einfach für sich schön, aber es wird daraus nicht dank einer expliziten Permutation eine «andere» Darstellung für e gefunden. Vielen Dank, Benedikt.

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