Matrix - Polynom

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ines89 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix - Polynom
Man stelle die Matrix auf, die lineare Abbildung von einem Polynom p(t) auf die um den Faktor 3 gestreckte Funktion, d.h. das Polynom q(t):= p(t/3) realisiert, d.h. diejenige 3x3-Matrix die die Koeffizienten von p(t) auf die Koeffizienten von q(t) abbildet. Ist diese Matrix invertierbar (wenn ja wie sieht inverse Matrix aus?)

Ich weiss nicht genau was ich machen soll, kann mir wer helfen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst also eine Abbildungsmatrix ausrechnen. Dafür brauchst du eine Basis von . Kannst du eine angeben?
 
 
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das die allg. Basis dafür: ax²+bx+c=0?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht denkst du dir das richtige, aber die 0 dort macht keinen Sinn. Der Raum, den wir betrachten, hat Dimension 3. Wir brauchen also drei Basisvektoren . Müsste in der Vorlesung zu finden sein. Ansonsten schau mal hier.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir Dimension 3 brauchen, dann soll das richtig sein
a+bx+cx²
Das mit der Basisvektoren verstehe ich nicht gant, wie soll ich aus diese allg. Polynomfunktion Basisvektoren bilden
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Polynom des Grades drei lässt sich so darstellen: a + bx + cx². Ohne das x geht es nicht, ohne das x² auch nicht und ohne den absoluten Term auch nicht. Folglich (und genau so steht es im Wikiartikel, nur eben für höhere Dimension) bilden eine Basis des gewünschten Raumes.

Wie geht es weiter? Die Basisvektoren müssen mit der Abbildung abgebildet werden, weiteres hier. Lies es dir bitte zunächst sorgfältig durch.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Basisvektoren in sind dann
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wir befinden uns nicht im , sondern in . Diese Art der Sichtweise auf ein Polynom kommt später.

Wir suchen die Abbildungsmatrix A von der Abbildung

Phi bildet also Polynome auf Polynome ab. Keine Spur von Vektoren im .

Dazu benötigen wir drei Basisvektoren, zum Beispiel diese:

Die Abbildungsmatrix bekommen wir nun, indem wir die Bilder der Basisvektoren berechnen und sie bzgl. der Basis darstellen.

Was sind nun die Bilder der Basisvektoren?
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht was ich da jetzt machen kann/soll? Muss ich jetzt da was einsetzen oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt erstmal bestimmen.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie soll ich das bestimmen? Was soll ich genau machen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Problem? Die Abbildung phi ist doch konkret angegeben. Also kannst du doch von einem konkreten Polynom p dessen Bild phi(p) bestimmen.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Problem ist das ich das Bild nicht mestimmen kann, da ich mich da nicht gut auskenne und deswegen hilfe brauche
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also ohne daß man anfängt, wird man nicht zu einem Ergebnis kommen.
Jetzt nehmen wir mal . Was ist nun ?
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss dass ich zuerst ausrechnen muss, weiss aber nicht was das ist, und wie ich das ausrechnen soll.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Wie das neue Polynom gebildet wird, steht doch hier:
Zitat:
Original von ines89
d.h. das Polynom q(t):= p(t/3) realisiert,

Wenn jetzt p(t) = t² ist, was ist dann q(t) ?
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
q(t):=p(t/3) =

Hab ich das richtig verstanden,oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Nee. Nochmal: du mußt q(t)=p(t/3) bestimmen. Nun ist p(t)=t² . Was ist nun p(t/3) ?
Das ist jetzt aber schon Schulstoff.

Habe jetzt keine Zeit mehr.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
p(t/3) soll dann p(t²/3) sein, da p(t)=t²
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Nein. p(t/3) = (t/3)² . Ist das denn alles so schwer? Wir sind hier wirklich auf Schulniveau.

Und das bitte schön noch für die anderen beiden Polynome.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Also ich soll jetzt weiter bestimmen?

also

ist das richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Na endlich. Und jetzt kannst du die zur Abbildung gehörende Abbildungsmatrix aufstellen.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix - Polynom
Bin mir nicht ganz sicher ob cih das richtig mache, hab aber versucht:



Ist das richtig?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig. Aber in der ersten Spalte muss der Koordinatenvektor des Bildes des ersten Basisvektors stehen. Und in der dritten stimmt es auch nicht. Die zweite stimmt.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll dann genau in der erste und dritte spalte stehen?

und am ende kommt raus dass die Matrix invertierbar ist da alle quadratische Matrizen invertierbar sind, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dir nochmal dringend anschauen, wie man Abbildungsmatrizen erstellt:
Man nehme den 1. Basisvektor , bilde davon das Bild, welches das Polynom ist und stelle dies als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar. Das führt zu . Damit ist in der ersten Spalte der Matrix der Vektor (1, 0, 0) einzutragen.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ines89
[...] da alle quadratische Matrizen invertierbar sind, oder?


Und auch mit dieser Aussage wäre ich sehr vorsichtig, ein einfaches Gegenbeispiel wäre eine quadratische Nullmatrix.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Du solltest dir nochmal dringend anschauen, wie man Abbildungsmatrizen erstellt:
Man nehme den 1. Basisvektor , bilde davon das Bild, welches das Polynom ist und stelle dies als Linearkombination in der Basis des Bildraums dar. Das führt zu . Damit ist in der ersten Spalte der Matrix der Vektor (1, 0, 0) einzutragen.



Ist dann ?
wenn das richtig ist dann muss ich das so schreiben:


ist das richtig was ich geschrieben hab?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ines89
Ist dann ?

Nein. Es ist .

Mit der Abbildung phi erhalten wir .

Jetzt habe ich es dir komplett vorgekaut. Ist das denn so schwer?

Nun mußt du die Polynome phi(p_1), phi(p_2) und phi(p_3) als Linearkombination der Polynome p_1, p_2 und p_3 schreiben. Und merke: in den Linearfaktoren darf kein t vorkommen.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, da muss ich nur mit einem Faktor multiplizieren damit ich kriege?

Kann ich dass alls Vektor schreben, ? Oder muss eine Zahl sein womit ich dann alles multiplizieren muss?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ines89
Also, da

Tut mir leid, ich habe mich leider verschrieben.
Es ist

Jetzt mußt du Zahlen a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2 und c_3 finden, so daß gilt:



ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

also




Wie soll ich das jetzt ausrechnen, Lösungsformel kann ich nicht verwenden, soll ich dass in Matrixform aufschreiben und versuchen auszurechnen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst ganz konkrete Zahlen angeben, so daß diese Gleichungen erfüllt werden.

Tut mir leid, wenn ich das jetzt mal so direkt frage: warum mußt oder willst du Mathe studieren? Obwohl das Thema wirklich nicht schwer ist, bist du noch meilenwert davon entfernt, ein Fünkchen evrstanden zu haben. Was willst du bloß machen, wenn es in der Algebra mal richtig zur Sache geht?
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab jetzt konkrete zahlen eingesetzt und krieg das raus:


wenn ich das einsetze kommt das richtige raus.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

und jetzt krieg ich die matrix raus:


es handelt sich um eine quadratische matrix die invertierbar ist.
und inverse matrix ist dann:

hab ich das richtig gemacht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ines89
also ich hab jetzt konkrete zahlen eingesetzt und krieg das raus:


wenn ich das einsetze kommt das richtige raus.

Warum ist c_3 = 1/3 ?
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

es soll 1/9 sein, oder? weil dann t²/9=(t/3)²
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
ines89 Auf diesen Beitrag antworten »

passt...damit bin ich dann mit diesen bps fertig. danke das du dir für mich zeit genommen hat und mich unterstützt hast
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