MacLaurin Reihe, wie auf Summenformel kommen?

10.01.2011, 18:46	ClaudeGable	Auf diesen Beitrag antworten »
MacLaurin Reihe, wie auf Summenformel kommen? Hallo, ich habe folgendes Problem: Wenn ich die MacLaurin Reihe für z.B. f(x)=3^(2x) bestimme, leite ich zuerst ab, sprich -> f'(x)=ln(9)+9^x, f''(X)=ln(9)²+9^x usw. Dann suche ich mir die entsprechenden Werte für f(0) -> f(0)=1, f'(0)=ln(9), f''(0)=ln(9)² Danach hätte ich ja folgende Reihe, wenn ich es in die allgm. Formel einsetzte: 1 + (ln(9)/1!)x + (ln(9)²/2!)x² + (ln(9)³/3!)*x³ ... Wie komme ich von dem Punkt nun aber auf die Summenformel, welche die Reihe beschreibt? Bin für alle Tipps dankbar.
10.01.2011, 18:55	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Wenn du schon die Reihendarstellung einer ähnlichen Funktion kennst, dann benutzt du am besten diese. z.b. hier $\begin{eqnarray} \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ Gruss
10.01.2011, 19:40	ClaudeGable	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Aber die Summenformel der e-funktion beschreibt doch die von mir genannte noch nicht komplett? Es felhlt ja sozusagen immer der ln(9) Teil im Ergebnis, also statt 1 + (ln(9)/1!)x + (ln(9)²/2!)x² + (ln(9)³/3!)*x³ ... würde ja 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! ... herauskommen. Ich kann ja auch nicht einfach f^(i)(0) dazuschreiben, dann hätte ich ja im Prinzip die allgemeine Formel? Irgendwie stehe ich glaube ich auf dem Schlauch oder habe etwas Grundlegendes nicht verstanden, bei dem Versuch mir den Stoff selbst beizubringen?
10.01.2011, 19:43	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche deine Funktion in der Form $\begin{eqnarray} C \exp(\alpha x) \end{eqnarray}$ auszudrücken. Damit hast du dann $\begin{eqnarray} f(x) = C \exp(\alpha x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{C\alpha^n }{n!}x^n \end{eqnarray}$
10.01.2011, 20:00	ClaudeGable	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, alles klar, danke, jetzt hab ichs denke ich. Hätte ich jetzt allerdings keine ähnlich, mir bekannte Reihe, wie geht man es dann am besten an? Ich denke mein Bsp. ist ja noch ein relativ einfaches für den Anfang, es sollte ja noch weitaus komplizierter werden.
10.01.2011, 20:30	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein allgemeines Rezept gibt es wohl nicht. Ein gutes Auge hilft. (Es gibt, denke ich, schon ein paar allgemeinere Möglichkeiten z.B. mit Hilfe von erzeugenden Funktionen, Difflgeichungen und sowas)
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