Limes beweisen

22.11.2006, 17:50	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes beweisen Hallo zusammen Also, ich habe hier eine Aufgabe, die doch recht schwierig ist, wie ich feststellen musste. Vielleicht kennt ja von euch jemand einen Weg, wie man folgendes beweisen kann: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Habe es sogar per Induktion nach k versucht, aber im Induktionsschluss findet man keine geeignete Abschätzung
22.11.2006, 18:14	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!}\lim_{n\to\infty}n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)\cdot2^{-n} \end{eqnarray}$ , womit das sofort auf den Fall $\begin{eqnarray} p(n)q^{-n} \end{eqnarray}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ zurückgeführt ist, oder habt ihr den noch nicht bewiesen?
22.11.2006, 18:23	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, habe vergesen die Voraussetzungen zu erwähnen. Im Grunde ist gar nichts (!) vorausgsetzt. Alles was wir bisher behandelt haben ist Konvergenzdefinition und Beschränktheit, zuästzlich einige Standardbeispiele. Aber da die Übung noch 1 Woche läuft, kann es sein, dass man später noch weitere Dinge voraussetzen darf. Die Voraussetzungen orientieren sich am Forster (Kapitel Folgen)
22.11.2006, 20:24	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Also direkt mit der Grenzwertdefinition da was anzustellen, macht überhaupt keinen Spaß. Die Linearität der Grenzwertbildung macht ihr wahrscheinlich gleich in der nächsten Vorlesung (deine Literatur kenne ich nicht), und $\begin{eqnarray} n^pa^{-n}\to0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|a\|>1, p>0 \end{eqnarray}$ kenne ich auch nur mit einigen trickreichen Abschätzungen; zumindest Physikern überlässt man das bei uns nicht als Übungsaufgabe.
30.11.2006, 20:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n>k \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 2^n=\sum_{i=0}^n~{n\choose i}>{n\choose k+1}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k)}{(k+1)!}=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}\cdot \frac{n-k}{k+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ={n\choose k}\cdot \frac{n-k}{k+1} \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
03.12.2006, 12:57	ThomasMa	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommt man auf $\begin{eqnarray} 2^{n} = \sum_{i=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ?
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03.12.2006, 14:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomischer Satz: $\begin{eqnarray} 2^n=(1+1)^n=\sum_{i=0}^n~{n\choose i}1^i1^{n-i} \end{eqnarray}$ . Falls du den noch nicht kennst, diese Formel hatten wir auch schon so oft im Board. Einfach mal suchen. Gruß MSS
03.12.2006, 14:15	ThomasMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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