Integration von a^x

10.01.2011, 23:31	Wirbelwind	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration von a^x Hallo! Zur Prüfungsvorbereitung habe ich mir ein Mathebuch ausgeliehen und gehe das gerade ein wenig durch, dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die mir ein wenig Kopfzerbrechen bereitet. Vielleicht weiß ich es wirklich nicht, vielleicht steh ich auf dem Schlauch oder es liegt an der Zeit- ich hoffe dass ihr mir weiter helfen könnt. Ich habe schon angefangen mit rechnen, hänge dann aber fest. Folgendes Integral soll berechnet werden: $\begin{eqnarray} \int \! 2^{1-3x} \, dx \end{eqnarray}$ Das Buch gibt mir die Lösung: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}\frac{1}{ln2}2^{1-3x} +c \end{eqnarray}$ Gut, nun hier mein Lösungsansatz: = $\begin{eqnarray} \int \! 2^{1} 2^{-3x} \, dx = 2\int \! 2^{-3x} \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2 (-\frac{1}{3})2^{-3x+1} \end{eqnarray}$ Und nun hänge ich. In meinem Formelwerk hab ich gefunden, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray} a^{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a^{x}lna \end{eqnarray*}$ ist und ich denke, dass ich das in irgendeiner Form noch in meine Lösung einfließen lassen muss- aber ich hab kurz gesagt keine Ahnung. Über eure Hilfe würde ich mich echt sehr freuen! lg
10.01.2011, 23:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze $\begin{eqnarray} 2 = e^{\ln 2} \end{eqnarray}$ und schreibe die Funktion mit der Basis e. Dabei siehst du nun, dass ausser durch (-3) auch noch durch ln(2) zu dividieren ist (innere Ableitung nach der Kettenregel der Differentiation). Das Umsteigen auf die Basis e geschieht deswegen, weil die Grund- e-Funktion bekanntermaßen invariant gegenüber der Differentiation/Integration ist. _______________ Bemerkung: Die Division durch die innere Ableitung ist NUR dann zulässig, wenn diese konstant ist! Im anderen Fall ist die Substitutionsmethode anzudenken. Auch das w.o. beschriebene Verfahren beruht im Grunde auf Integration durch Substitution. mY+

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