Liegen 4 Punkte in einer Ebene

11.01.2011, 01:13	analysisisthedevil	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegen 4 Punkte in einer Ebene A(2,-1,2) B(1,2,1) C(2,3,0) D(5,0,-6) um rauszufinden ob die 4 Punkte in einer Ebene sind,bilde ich zuerst mal die Ebene E , aus den Punkten A,B,C $\begin{eqnarray} E=\vec{a}+t_1(\vec{b}-\vec{a})+t_2(\vec{c}-\vec{a}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} + t_{1} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + t_{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ um Rauszufinden ob alle 4 Punkte in dieser ebene sind setze ich $\begin{eqnarray} \vec{d}=E \end{eqnarray}$ wodurch ich ein LGS bekomme $\begin{eqnarray} I:3=-t_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II:1=3t_1+4t_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} III:-8=-t_1-2t_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3I+II=IV \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} IV:2,5=t_2 \end{eqnarray}$ IV in III $\begin{eqnarray} 3=t_1 \end{eqnarray}$ Probe : $\begin{eqnarray} E=\vec{a}+3(\vec{b}-\vec{a})+2,5(\vec{c}-\vec{a})\neq\vec{d} \end{eqnarray}$ was hab ich falsch gemacht??
11.01.2011, 01:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab' jetzt nix nachgerechnet, aber woher willst du wissen, dass es falsch ist? Es kann doch auch sein, dass D nicht in der Ebene liegt. mY+
11.01.2011, 02:13	analysisisthedevil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte es so verstanden dass man das LGs gar nich lösen kann wenn der Punkt nicht drinn liegt,ich habs ja aber gelöst also , ich bin grad durcheinander.
11.01.2011, 02:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du da gemacht hast, ist mir unklar. Die Ebene ist zunächst mal berechnet, ok. Nun musst du links statt X (übrigens ist E keine gute Bezeichnung für den Punkt bzw. Ortsvektor X!) die Koordinaten von D einsetzen und nachsehen, ob für alle drei Zeilen sich die gleichen Parameter t1, t2 ergeben, also ob das System dabei eine Lösung hat. Existiert diese, dann JA, bei einem Widerspruch: NEIN Zu deiner Beruhigung: D liegt NICHT in der Ebene. mY+ EDIT: Alternativ kannst du die Ebene parameterfrei machen, also auf die Normalform (Koordinatenform) bringen und dort dann einfach die Koordinaten von D einsetzen: E: x + y + 2z = 5 <-- D(5; 0; -6) Ergebnis: D nicht in E.
11.01.2011, 04:23	analysisisthedevil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dankeschön für den tip parametefrei is wohl doch das schlauste,da es am schnellsten geht. Aber mein vorgehen war ansonsten sogar richtig?
11.01.2011, 18:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Ich habe erst jetzt gesehen, dass du ohnehin den Punkt D eingesetzt hast. Gestern war es schon zu spät, ausserdem hat mich dein E = .. irritiert. Wie gesagt, solltest du X = .. schreiben, denn die Parameterform der Ebene beschreibt einen beliebigen, laufenden Punkt X (bz. Ortsvektor X = OX) in dieser Ebene. mY+
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