Stabilität im Sinne von Lyapunov

11.01.2011, 09:57

Holger124

Stabilität im Sinne von Lyapunov

Hallo mal eine Frage wie gehe ich denn genau vor wenn ich das System

x(t) = (x(t))^3 und x(t) = -(x(t))^3 auf Stabilität im Nullpunkt untersuchen möchte?

Wir habe in der Vorlesung einige Sätze dazu, die aber hier nicht anwendbar sind, da die reellen Eigenwerte = 0 sind.

11.01.2011, 10:15

Cel

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Fehlt da irgendwo ein Strich oder Punkt und ein y? x = x^3 und einmal x = -x^3, das sieht nicht gut aus ... unglücklich

Gib die Aufgabenstellung an. Noch besser: Lade sie hoch.

11.01.2011, 10:18

Holger124

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Ach tut mir leid natürlich fehlt da ein Strich und die DGL. ist auch noch Skalar;

x'(t) = x(t)^3 sowie x'(t)=-x(t)^3

11.01.2011, 10:23

Cel

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Also sind das zwei Aufgaben? Zwei skalare DGLs?

Und was ist mit den Eigenwerten? Hast du jetzt linearisiert im Nullpunkt? Brauchst du nicht. Du kannst doch die allgemeine Lösung direkt angeben und siehst, ob Lösungen (eigentlich reicht ja schon eine) belieibige Umgebungen der Null verlassen.

11.01.2011, 10:41

Holger124

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Naja die Lösungen sind offensichtlich $\begin{eqnarray*} x(t)=\sqrt{\frac{1}{-2t}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x(t)=\sqrt{\frac{1}{2t}} \end{eqnarray*}$ .

O.K. aber mir ist irgendwie nicht so ganz klar wie ich das jetzt überprüfen soll, kannst du mir das mal zeigen? Zudem muss ich ja noch (falls stabil) zwischen asymptotisch stabil und nur stabil unterscheiden??!!

11.01.2011, 11:11

Cel

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Wir gucken uns die Trajektorien dieser Lösungen an (ich plotte mal beide Kurven in ein Diagramm). Übrigens hast du deine Integrationskonstante vergessen, müsste da noch mit rein:

Was sind hier die Trajektorien? Das sind Teilmengen des Wertebereiches der Lösungen. Hier sind das also Intervalle. Welche Bildmengen haben hier die beiden Lösungen? Und dann musst du nur noch gucken, "in welche Richtung die Intervalle wachsen". Wenn die t - Werte wachsen, wohin geht dann der Funktionswert? Vielleicht wird dir das klarer, wenn wir die Intervalle haben.

Alternative. Vielleicht gefällt dir das auch besser: Die beiden DGLs sind Gradientensysteme. Damit findest du leicht eine Lyapunov-Funktion. Dann musst du noch überprüfen, ob diese Funktion ein isoliertes Minimum hat, etc. (Klick) ... Ein schönes Beispiel gibt es hier.

11.01.2011, 11:56

Holger124

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O.K. hätte ich jetzt keine Rot-Grün Farbblindheit könnte ich sogar sehen was welche Lösung sein muss.. ;-) Hättest bei mir besser Blau-Rot gewählt.

Wir haben das Wort "TRajektorie" in der Vorlesung nicht definiert und deine Definition ist im mathematischen Sinne auch ein bißchen schwammig.

Ich hab jetzt mal selber beide Lösungen geplottet als "Funktionen"!

Ich sehe folgendes die zum System x' = x^3 gehörige Lösung ist
$\begin{eqnarray*} x(t)=\sqrt{\frac{1}{-2t}} \end{eqnarray*}$ und geht für wachsendes t gegen 0.

Bei der anderen Lösung gilt genau das Gegenteil, wenn ich die Farben rot und grün richtig deute, dann ist das bei dir auch so.

O.k. ich behaupte also mal, dass x' = -x^3 instabil ist und das andere stabil??

Woran sehr ich denn jetzt obs auch asymptotisch stabil ist? Ich denke mal das folgt dann wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{t \rightarrow \infty} x(t) = 0 \end{eqnarray*}$ für x' = x^3.

So und jetzt nochwas, mit Linearisierung meinst du wohl das Differential im Punkte 0 oder? Wie auch bei mir der Prof. in der Vorlesung es macht, wird hier mit Begriffen rumgeworfen die mir alle noch nicht so ganz klar sind.

Vielen Dank trotzdem das du dir die Mühe machst es zu plotten etc., wenn auch in einer Farbe die ich kaum sehe... ;-))))

Ich muss das halt bis Mitte Februar verstehen, dann steht nämlich die Klausur an.

Grüße Holger!

11.01.2011, 17:53

Cel

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Ich habe dir mal oben noch eine Nullfunktion eingefügt, damit das eine rot ist, dann andere blau, frei wählen kann man das nicht.

Zitat:

Original von Holger124
Ich sehe folgendes die zum System x' = x^3 gehörige Lösung ist
$\begin{eqnarray*} x(t)=\sqrt{\frac{1}{-2t}} \end{eqnarray*}$ und geht für wachsendes t gegen 0.

Richtig, aber wachsendes t heißt maximal bis Null. Für $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ ist diese Funktion nicht definiert. Deswegen musst du den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0}x(t) \end{eqnarray*}$ berechnen.

Bei der anderen hingegen kann man nur positive t einsetzen, weswegen du dort den Limes für t gegen Unendlich berechnen musst.

Übrigens fehlt immer noch die Integrationskonstante. Die allgemeine Lösung ist $\begin{eqnarray*} x(t) = \sqrt{\frac{1}{-2t+c}} \end{eqnarray*}$ , aber das ist jetzt nicht so wichtig.

Zu den Begriffen: Leider weiß ich nicht, was du schon weißt und Trajektorien sind nichts sehr Fortgeschrittenes. Sollte von mir keine Definition sein, sondern vielmehr eine Erklärung. Eine sehr gute Quelle ist zum Beispiel hier zu finden.

11.01.2011, 19:20

Holger124

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Zitat:

O.k. ich behaupte also mal, dass x' = -x^3 instabil ist und das andere stabil??

Stimmt diese Aussage jetzt also ??

11.01.2011, 22:17

Cel

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Nein. Und das merkst du zum Beispiel durch Berechnen des Grenzwertes, den ich oben genannt habe (t gegen 0).