Integralsatz von Gauß mit zwei Flächen

11.01.2011, 11:16	Melvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralsatz von Gauß mit zwei Flächen Meine Frage: Hab seit Tagen ein Problem bei einer Matheaufgabe und ich weiß nciht wo mein Fehler ist. Die Aufgabe lautet wie folgt: Man berechne das Ringintegral \int\int FdA (dA nach außen gerichtet) mittels des Integralsatzes von Gauß. F = \begin{pmatrix} xz + (1/3) x^3 \\ 2ze^{xy}\\ zy^2-(1/2) z^2-xz^2e^{xy}\end{pmatrix} mit A = A_{1} \cup A_{2} A_{1}: z= \sqrt{x^2+y^2} , 0\leq z\leq \sqrt{2} A_{2}: x^{2} +y^{2}\leq 2, z= \sqrt{2} Im Anhang habe ich das Bild rein gemacht damit ihr es euch anschauen könnt. Meine Ideen: Hier nun mein Ansatz...... \int_{B} div\vec{v} dB = \int_{F}\vec{v} d\vec{F} = \int_{F}(\vec{v} *\vec{n}) dF bestimme ich erstmal div\vec{v} = div\vec{F} \frac{d}{dx} =z+x^2 \frac{d}{dy} =2zxe^{xy} \frac{d}{dz} =y^2-z-2xze^{xy} div\vec{F}=z+x^2+2zxe^{xy}+y^2-z-2xze^{xy}=x^2+y^2 Ich benutze Zylinderkoordinaten da diese sich hier anbieten. x= r\cos(\gamma ) y=r\sin(\gamma ) z=z div\vec{F} = r^2 A_{1}: meine Grenzen 0\leq z\leq \sqrt{2} , 0\leq r\leq \sqrt{2}, 0\leq \gamma \leq \sqrt{2} I_1=\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}}div\vec{F} \, r dr d\gamma dz I_1=\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}}r \ r dr d\gamma dz =\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{1}{3} r^{3} \right]_{0}^{\sqrt{2} } d\gamma dz =\frac{2}{3}\sqrt{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} \left[\gamma \right]_{0}^{2\pi } dz =\frac{4}{3}\pi \sqrt{2} \left[z\right]_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{8}{3} \pi Für A_{2} meine Grenzen 0\leq z\leq \sqrt{2} , 0\leq r\leq \sqrt{2}, 0\leq \gamma \leq \sqrt{2} und nun weiß ich nicht mehr weiter. Die Fläche A_{2} beschreibt mir meine Integrationsgrenzen oder nicht? Wäre schön wenn ihr mich auf Fehler aufmerksam macht und mir helft. Danke euch schon vorn weg. Gruß Melvis
11.01.2011, 11:43	Melvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab seit Tagen ein Problem bei einer Matheaufgabe und ich weiß nciht wo mein Fehler ist. Die Aufgabe lautet wie folgt: Man berechne das Ringintegral $\begin{eqnarray} \int\int FdA\ \end{eqnarray}$ (dA nach außen gerichtet) mittels des Integralsatzes von Gauß. F = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} xz + (1/3) x^3 \\ 2ze^{xy}\\ zy^2-(1/2) z^2-xz^2e^{xy}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit A = $\begin{eqnarray} A_{1} \cup A_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{1}: z = \sqrt{x^2+y^2} , 0\leq z\leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{2}: x^{2} +y^{2}\leq 2, z = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Im Anhang habe ich das Bild rein gemacht damit ihr es euch anschauen könnt. Hier nun mein Ansatz...... $\begin{eqnarray} \int_{B} div\vec{v} dB = \int_{F}\vec{v} d\vec{F} = \int_{F}(\vec{v} \vec{n}) dF \end{eqnarray}$ bestimme ich erstmal $\begin{eqnarray} div\vec{v} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} div\vec{F} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} z+x^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} 2zxe^{xy} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \frac{d}{dz} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} y^2-z-2xze^{xy} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} div\vec{F} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} z+x^2+2zxe^{xy}+y^2-z-2xze^{xy} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ Ich benutze Zylinderkoordinaten da diese sich hier anbieten. x = $\begin{eqnarray} r\cos(\gamma ) \end{eqnarray}$ y = $\begin{eqnarray} r\sin(\gamma ) \end{eqnarray}$ z = z $\begin{eqnarray} div\vec{F} \end{eqnarray}$ = r^2 $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ : meine Grenzen $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq \gamma \leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}}div\vec{F} \, r dr d\gamma dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}}r \ r dr d\gamma dz \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2\pi} \left[\frac{1}{3} r^{3} \right]_{0}^{\sqrt{2} } d\gamma dz \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}\sqrt{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} \left[\gamma \right]_{0}^{2\pi } dz \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{4}{3}\pi \sqrt{2} \left[z\right]_{0}^{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{8}{3} \pi \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} A_{2} \end{eqnarray}$ meine Grenzen $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 0\leq \gamma \leq \sqrt{2} \end{eqnarray}$ und nun weiß ich nicht mehr weiter. Die Fläche $\begin{eqnarray} A_{2} \end{eqnarray*}$ beschreibt mir meine Integrationsgrenzen oder nicht? Wäre schön wenn ihr mich auf Fehler aufmerksam macht und mir helft. Danke euch schon vorn weg. Gruß Melvis Entschuldigt nochmal hatte zwei Befehle vergessen

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