volumenmaximierung einer Schachtel

11.01.2011, 15:50

Lila123

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volumenmaximierung einer Schachtel

Meine Frage:
Aus einer rechteckigen 30 cm langen und 20 cm breiten Stück Pappe soll-durch Ausschneiden von Quadraten an den Ecken und Hochbiegen der überstehenden Teile-eine oben offene Schachtel mit einem möglichst großen Fassungsvermögen hergegstellt werden.
Die Aufgabe sollnumerisch, grafisch und rechnerisch gelöst werden.

Meine Ideen:
ich weiß garnichtwie ich so eine Aufgabe lösen soll.. Kann mir bitte jemand sagen ,wie ich vorgehen soll??

11.01.2011, 15:52

Seawave

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RE: volumenmaximierung einer Schachtel
Am besten machst du dir eine Skizze.
Zeichne dir das Rechteck und mal dir in jede Ecke ein Quadrat mit der Kantenlänge x.
Jetzt überleg mal, wie sich die Breite und Höhe verändern, wenn du die Schachtel hochklappst, bzw. wenn du die Quadrate ausschneidest, um sie hochzuklappen.
Versuche, mit den veränderten Werten eine Volumenformel aufzustellen.
Tipp: Die Höhe der Schachtel ist x.

11.01.2011, 15:54

baphomet

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RE: volumenmaximierung einer Schachtel
Dazu benötigt man Differentialrechnung, denn es handelt sich um eine Extremwertaufgabe.

Wie lautet denn das Volumen dieser Schachtel, mach dir dazu erstmal eine
SKizze um dir das Problem zu veranschaulichen

11.01.2011, 15:59

Lila123

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Danke für eure Hilfe.
Ich hab jetzt die Skizze gemacht. Aber wie groß sollen die Quadrate in den Ecken denn sein und wie berechne ich dann das Volumen? Ich versteh das Thema leider garnicht traurig

traurig

11.01.2011, 16:01

baphomet

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Als erstes stellt sich die Frage, wie berechnet man das Volumen eines
Quaders?

$\begin{eqnarray*} V=a\cdot b\cdot c \end{eqnarray*}$

Das musst du nun in Abhängigkeit der Quadrate auf deine Aufgabe
anwenden und gelangst zur Funktionsgleichung. Um Extrema zu bestimmen
benötigst du davon die erste und zweite Ableitung.

11.01.2011, 16:01

Seawave

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Die Quadrate haben den Flächeninhalt x².
Denn du sollst ja nachher bestimmen, für welchen Wert von x das Volumen maximal wird.
Also müssen wir erstmal eine Funktion zur Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von x aufstellen.
Wie groß ist die neue Breite, wenn ich an jeder Seite x cm wegschneide?

Edit: @ baphomet : wir sollten uns einigen, wer hier hilft, das verwirrt sonst.

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11.01.2011, 16:04

Lila123

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Das Volumen ist a mal b mal c.
Wenn ich an jeder Seite jeweils 5 cm wegnehme ist das Volumen dann 20 X 10X 5 oder? Wie soll ich denn die Gleichung aufstellen und das x maximieren?

11.01.2011, 16:05

baphomet

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Die Quadrate bezeichnen wir mit einer Unbekannten x, und schon kann man
die Länge,Breite und Höhe in Abhängigkeit von x ausdrücken und damit
verbunden das Volumen.

Man kommt zu folgender Funktionsgleichung:

$\begin{eqnarray*} V=(20-2x)( 30-2x)x \end{eqnarray*}$

Ist das für dich klar?

11.01.2011, 16:11

Lila123

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Achso.. gut danke! Bis dahin habe ich es jetzt verstanden.
Was soll ich dann machen? :-)

11.01.2011, 16:18

baphomet

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Ausmultiplizieren und differenzieren

11.01.2011, 16:24

Lila123

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600+4x*x ???? was istdifferenzieren?

11.01.2011, 16:26

baphomet

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nicht richtig ausmultipliziert, machs nochmal.

Differenzieren kommt von Differentialrechnung, das solltest du kennen wenn
dir so eine Aufgabe gestellt wird. Hast du wirklich noch nichts vom Differenzenquotient
gehört?

11.01.2011, 16:31

Lila123

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nee was ist das denn?

600 x - 4x² ???

11.01.2011, 16:32

Seawave

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Nur ein kurzer Einschub, um nicht zu sehr zu verwirren.

Wahrscheinlich kennst du differenzieren unter dem Begriff "ableiten", das ist in der Schule weitaus gebräuchlicher.

11.01.2011, 16:33

baphomet

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Bei mir kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} V(x)=(600-100x-4x^2)x \end{eqnarray*}$

Übe nochmal das Ausmultiplizieren. Jetzt Ableiten.

11.01.2011, 16:38

Lila123

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Wie kommst du auf 100x?

Achso:-) ja ableiten kenne ich :-))

11.01.2011, 17:22

Lila123

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Bitte helft mir!!
hab ich so richtig abgeleitet: 100 -8x ??

11.01.2011, 17:23

baphomet

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Binomische Formeln kennst du oder, und so ähnlich komme ich drauf.

$\begin{eqnarray*} <br /> (2x-20)( 2x-30)=4x^2-2x\cdot 30-20\cdot 2x+600=<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 4x^2-60x-40x+600=4x^2-100x+600<br /> \end{eqnarray*}$

Die Funktion lautet also:

$\begin{eqnarray*} V(x)=4x^3-100x^2+600x \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung von dir stimmt nicht, Summenregel und Potenzregel anwenden,

edit: Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

11.01.2011, 17:32

Lila123

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Ok danke

smile

erste Ableitung:

12x²- 100x+600 ?

Wofür braucht man die Ableitung eigentlich?

11.01.2011, 17:33

baphomet

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Um die Extrema, also Minima und Maxima zu bestimmen.

Dazu setzt man die erste Ableitung Null und löst diese. Das machst du jetzt mal
und bildest danach die zweite Ableitung.

11.01.2011, 18:35

Seawave

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Zitat:

Original von Lila123
Ok danke smile

smile

erste Ableitung:

12x²- 100x+600 ?

Wofür braucht man die Ableitung eigentlich?

Fast :
V'(x) = 12x² - 200x + 600
Du hast vergessen, die 100 mit 2 (der vorherige Exponent) zu multiplizieren.

Kann man schnell übersehen, deshalb wollte ich es nur kurz anmerken.

11.01.2011, 18:37

baphomet

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@Seawave

Danke, habe ich glatt übersehen Freude

Freude

11.01.2011, 18:42

Seawave

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Kein Problem, ich übersehe so etwas auch gerne mal, fällt ja auch kaum auf smile

smile

11.01.2011, 18:43

Lila123

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oh danke! Hab ich vergessen:-) 12x²-200x+600

2.ableitung: 24x- 200

soll ich ,um die erste Gleichung aufzulösen, durch 12 teilen und dann die pq formel anwenden?

11.01.2011, 18:49

baphomet

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Ja

11.01.2011, 19:01

Lila123

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0,03 +/- wurzel aus -0,03² -50 ??

11.01.2011, 19:19

baphomet

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Stimmt nicht:

$\begin{eqnarray*} 0=12x^2-200x+600 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^2-\frac{50}{3}x+50 \end{eqnarray*}$

Jetzt p-q Formel

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{50}{6}\pm\sqrt[]{\left(\frac{50}{6}\right)^2-50} \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 19:24

Lila123

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Warum 50/3 x?
Ok und was muss ich dann machen?

11.01.2011, 19:26

baphomet

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Weil wir die gesamte Gleichung durch 12 dividieren(dann kann man kürzen).
Jetzt berechne erstmal mittels oben angegebener p-q Formel die Extrema. Wenn
du das gemacht hast die Extrema in die zweite Ableitung einsetzen.

11.01.2011, 19:37

Lila123

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x1= 25+5 wurzel 7 / 3
x2= 25-5 wurzel 7 / 3

aber ich kann doch so eine komplizierte Zahl nicht in die ableitung einsetzen verwirrt

verwirrt

11.01.2011, 19:43

baphomet

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klar kannst du, wenn nicht da runde das Ergebnis auf 5 Stellen genau und
setze dann ein.

Dein Ergbnis stimmt schon wieder nicht.

Unter der Wurzel bleibt stehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2500-50(36)}{ 36}=\frac{700}{36}=\frac{175}{9}=\frac{25\cdot 7}{ 9}<br /> \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 20:04

Lila123

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24*12,74292-200*12,74292= -2242,753948
kommt mir irgendwie komisch vor... und weil das jetzt minus ist, ist es ein hochpunkt oder?

11.01.2011, 20:06

baphomet

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Genau das heißt es.

Vorausgesetzt du hast in meinem letzten Beitrag gemerkt das deine Rechnung der
Extrempunkte falsch ist. Deshalb oben nochmal nachschauen.

11.01.2011, 20:06

Lila123

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hää? was stimmt mit der Wurzel nicht? ich versteh jetzt garnicht mehr unglücklich

unglücklich

11.01.2011, 20:10

Lila123

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Warum sind die denn falsch? Ich hab nur die pqformel, die du geschrieben hast, mit dem Taschnerechner aufgelöst unglücklich

unglücklich

Kannst du mir nich eben die Schritte nennen, wie es weitergeht? Brauchst ja auch nicht zu rechnen.. weil ich komme eh nicht auf das Ergebnis..

11.01.2011, 20:11

baphomet

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Nochmal von Anfang an:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{50}{6}\pm\sqrt[]{\left(\frac{50}{6}\right)^2-50} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{50}{6}\pm\sqrt[]{ \frac{2500-50\cdot 36}{36} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[]{\frac{ 700}{ 36} }=\sqrt[]{\frac{175}{ 9}}=\sqrt[]{25\cdot\frac{7}{ 9}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{3}\pm 5\cdot\frac{\sqrt[]{7}}{3} \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 20:26

Lila123

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ok danke:-)
und was muss man dann noch alles machen?

11.01.2011, 20:31

baphomet

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Extrempunkte in zweite Ableitung einsetzen, daraufhin feststellen was
Maximum ist. Das wäre es dann. Damit kanst du dann die Abmessungen bestimmen.

11.01.2011, 20:41

Lila123

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gut danke:-)
also ich setz das jetzt mal nicht ein, aber wenn der Wert dann ZB 6 ist, wie kann ich damit dann die Abmessung machen? Soll ich dann in der Anfangsfunktion das x durch 6 ersetzen?

11.01.2011, 20:44

baphomet

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Ja bei der Anfangsfunktion für x das Maxima einsetzen, und zwar in diese
Form der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} V=(20-2x)(30-2x)x \end{eqnarray*}$

Damit kannst du problemlos Länge, Breite und Höhe bestimmen.

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