Banachräume von Funktionsräumen

11.01.2011, 16:04	b_o_g	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachräume von Funktionsräumen Meine Frage: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} C^1 ([0,1],R),\|\|.\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ kein Banachraum ist, wobei $\begin{eqnarray} \|\|u\|\|_{\infty} = max_{x \in [0,1]} \|u(x)\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \in C^0 ([0,1],R) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wenn ich zeige, dass eine Cauchy-Folge in C1 gegen u konvergiert, dann ist C1 kein Banachraum, da C0 größer als C1 ist, u somit auch außerhalb von C1 liegen kann. Doch wie zeige ich das? Oder ist mein Ansatz falsch?
11.01.2011, 16:43	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll denn bei dir u sein? Willst du etwa zu jedem u aus C0 eine Folge finden, die gegen dieses u konvergiert? Das musst du nicht tun, es reicht doch ein einziges Gegenbeispiel. Was du machen musst, ist also folgendes: Du musst dir eine Folge lauter differenzierbaren Funktionen nehmen, deren Grenzwert bzgl. der Maximumsnorm nicht differenzierbar ist. (Es ist sogar möglich dafür zu sorgen, dass der Grenzwert noch nicht mal stetig ist)
12.01.2011, 16:31	b_o_g	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich brauche also eine Folge a mit $\begin{eqnarray} \|\|a\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} x - n \end{eqnarray}$ ? Ihr Grenzwert müsste der Betrag von x sein und der ist in 0 nicht differenzierbar. Stimmt das? Ich tu mir mit dem Betrag von Funktionen irgendwie schwer, darum hab ich jetzt nicht wirklich viele Ideen.

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